轨迹方程的求法及典型例题(含答案)文档格式.doc
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-10=0
整理得:
x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.
例3、如图,直线L1和L2相交于点M, L1^L2,点NÎ
L1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若DAMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
解法一:
如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点。
依题意知:
曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点。
设曲线段C的方程为,
其中xA,xB分别为A,B的横坐标,P=|MN|。
由①,②两式联立解得。
再将其代入①式并由p>
0解得
因为△AMN是锐角三角形,所以,故舍去
∴p=4,xA=1
由点B在曲线段C上,得。
综上得曲线段C的方程为
解法二:
如图建立坐标系,分别以l1、l2为
轴,M为坐标原点。
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2垂足分别为E、D、F
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)
依题意有
例4、已知两点以及一条直线:
y=x,设长为的线段AB在直线上移动,求直线PA和QB交点M的轨迹方程.
PA和QB的交点M(x,y)随A、B的移动而变化,故可设,
则PA:
QB:
消去t,得
当t=-2,或t=-1时,PA与QB的交点坐标也满足上式,所以点M的轨迹方程是
例5、设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
设M(x,y),直线AB的方程为y=kx+b
由OM⊥AB,得k=-
由y2=4px及y=kx+b,消去y,得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0
所以x1x2=,y1y2=,
由OA⊥OB,得y1y2=-x1x2
所以=-,b=-4kp
故y=kx+b=k(x-4p),
得x2+y2-4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0),
它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.
①
②
③
④
⑤|
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意,有
①-②得(y1-y2)(y1+y2)=4p(x1-x2)
若x1≠x2,则有 ⑥①×
②,得y12·
y22=16p2x1x2③代入上式有y1y2=-16p2 ⑦
⑥代入④,得 ⑧⑥代入⑤,得所以
即4px-y12=y(y1+y2)-y12-y1y2⑦、⑧代入上式,得x2+y2-4px=0(x≠0)
当x1=x2时,AB⊥x轴,易得M(4p,0)仍满足方程.
故点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.
轨迹方程(练习1)
1.(08、山东文22)已知曲线:
所围成的封闭图形的面积为
,曲线的内切圆半径为,记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设是过椭圆中心的任意弦,是线段的
垂直平分线,是上异于椭圆中心的点.
①若=λ(为坐标原点),当点在椭圆上运动时,求点的轨迹方程;
②若是与椭圆的交点,求的面积的最小值.
(1)由题意得
椭圆方程:
=1.
(2)若AB所在的斜率存在且不为零,设
AB所在直线方程为y=kx(k≠0),A().
①由
.
设M(x,y),由|MO|=λ|OA|(λ≠0)|MO|2=λ2|OA|2.
因为L是AB的垂直平分线,所以直线L的方程为y=k=,代入上式有:
,由,
当k=0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M的轨迹方程为,(λ0).
②当k存在且k0时,|OA|2=.
由.
=.
≥.
=≥,
当且仅当4+5k2=5+4k2时,即k=1时等号成立.
当;
当k不存在时,.
综上所述,的面积的最小值为.
2.(07、江西理21)设动点到点和的距离分别为和,,且存在常数,使得.
(1)证明:
动点的轨迹为双曲线,并求出的方程;
(2)过点作直线与双曲线的右支于两点,试确定的范围,使·
=0,其中点为坐标原点.
(1)在中,,即,
,即(常数),
点的轨迹是以为焦点,实轴长的双曲线,方程为:
(2)设,
①当垂直于轴时,的方程为,,在双曲线上.
即,
因为,所以.
②当不垂直于轴时,设的方程为.
由得:
,由题意知:
,
由·
=0,且在双曲线右支上,
所以.
由①②知.
3.(09、海南)已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆上的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(e为椭圆C的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为a,c.由已知得a=4,c=3椭圆C的方程为.
(2)设M(x,y),P(,).
其中∈[-4,4],=x.有……①
故
【下面是寻找关系式=f(x,y),=g(x,y)的过程】
又……………………………………②
②式代入①:
并整理得:
,所以点M的轨迹是两条平行于x轴的线段.
轨迹方程(练习2)
4.(09、重庆理)已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为,离心率,M是椭圆上的动点.
(1)若C、D的坐标分别是(0,√3)、(0,-√3),求·
的最大值;
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(2)如图,点A的坐标为(1,0),点B是圆上的点,点N是点M(椭圆上的点)在轴上的射影,点Q满足条件:
=+,·
=0.求线段QB的中点P的轨迹方程.
(1)设椭圆方程为:
(a>b>0).准线方程=,=,椭圆方程为:
.所以:
C、D是椭圆的两个焦点+=4.·
≤,当且仅当=,即点M的坐标为时上式取等号·
的最大值为4.
(2)设,,N()
,.
由=+
………①
=0
()·
()=()()+=0
…………②
记P点的坐标为(,),因为P是的中点
=
==
动点P的方程为:
.
5.(09、安徽)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为.以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.
(1)求a与b的值;
(2)设该椭圆的左,右焦点分别为和,直线过且与x轴垂直,动直线与y轴垂直,交于点p.求线段的垂直平分线与直线的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型
(1)e==.又圆心(0,0)到直线y=x+2的距离d=半径b=,
∴=2,=3.
(2)(-1,0)、(1,0),由题意可设P(1,t)(t≠0).那么线段的中点为N(0,).
的方程为:
y=t,设M()是所求轨迹上的任意点.
【下面求直线MN的方程,然后与直线的方程联立,求交点M的轨迹方程】
直线的斜率k=,∴线段的中垂线MN的斜率=-.
所以:
直线MN的方程为:
y-=-x.由,
消去参数t得:
,即:
,其轨迹为抛物线(除原点).
又解:
由于=(-x,-y),=(-x,-y).∵·
=0,
∴,消参数t得:
(x≠0),其轨迹为抛物线(除原点).
6.(07湖南理20)已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的动直线与双曲线相交于两点.【直接法求轨迹】
(1)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;
(2)在轴上是否存在定点,使·
为常数?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)由条件知,,设,.设,则
,,,
由
的中点坐标为.
当不与轴垂直时,,
即.
又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得
,即.
将代入上式,化简得.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
所以点的轨迹方程是.
(2)假设在轴上存在定点,使·
为常数.
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入有.
则是上述方程的两个实根,所以,,
于是·
因为·
是与无关的常数,所以,即,此时·
=-1.
当与轴垂直时,点的坐标可分别设为,,
此时·
=(1,√2)·
(1,-√2)=-1.故在轴上存在定点,使·
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