等差数列综合复习(教案+例题+习题)Word文档下载推荐.doc
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答案:
B;
解法一:
an=
∴an=2n-1(n∈N)
又an+1-an=2为常数,≠常数
∴{an}是等差数列,但不是等比数列.
解法二:
如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数,则这个数列一定是等差数列。
本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识,以及灵活运用递推式an=Sn-Sn-1的推理能力.但不要忽略a1,解法一紧扣定义,解法二较为灵活。
练一练:
设是等差数列,求证:
以bn=为通项公式的数列为等差数列。
3、等差数列的通项:
或。
4、等差数列的前和:
,。
例3:
等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值是一个确定的常数,则数列{an}中也为常数的项是( )
A.S7 B.S8
C.S13 D.S15
设a2+a4+a15=p(常数),
∴3a1+18d=p,解a7=p.
∴S13==13a7=p.
C
例4.等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,则n为( )
A.48B.49C.50D.51
∵a2+a5=2a1+5d=4,则由a1=得d=,令an=33=+(n-1)×
,可解得n=50.故选C.
如
(1)等差数列中,,,则通项 ;
(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______;
例5:
设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=________.
S9=9a5=-9,
∴a5=-1,S16=8(a5+a12)=-72.
-72
例6:
已知数列{an}为等差数列,若<
-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使Sn>
0的n的最大值为( )
A.11B.19
C.20D.21
∵<
-1,且Sn有最大值,
∴a10>
0,a11<
0,且a10+a11<
0,
∴S19==19·
a10>
S20==10(a10+a11)<
0.
所以使得Sn>
0的n的最大值为19,故选B.
B
如
(1)数列中,,,前n项和,则=_,=;
(2)已知数列的前n项和,求数列的前项和.
5、等差中项:
若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且。
提醒:
(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:
、、、及,其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);
偶数个数成等差,可设为…,,…(公差为2)
6.等差数列的性质:
(1)当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;
前和是关于的二次函数且常数项为0.
(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。
(3)当时,则有,特别地,当时,则有.
(4)若、是等差数列,则、(、是非零常数)、、,…也成等差数列,而成等比数列;
若是等比数列,且,则是等差数列.
等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。
(5)在等差数列中,当项数为偶数时,;
项数为奇数时,,(这里即);
。
项数为奇数的等差数列中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数.
(6)若等差数列、的前和分别为、,且,则.
设{}与{}是两个等差数列,它们的前项和分别为和,若,那么___________;
(7)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和;
“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。
法一:
由不等式组确定出前多少项为非负(或非正);
法二:
因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。
上述两种方法是运用了哪种数学思想?
(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?
等差数列中,,,问此数列前多少项和最大?
并求此最大值;
例7.
(1)设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()
A.d<0 B.a7=0
C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()
A.130 B.170 C.210 D.260
(1)答案:
C;
由S5<
S6得a1+a2+a3+…+a5<
a1+a2+…+a5+a6,∴a6>
又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,
由S7>
S8,得a8<
0,而C选项S9>
S5,即a6+a7+a8+a9>
02(a7+a8)>
由题设a7=0,a8<
0,显然C选项是错误的。
(2)答案:
由题意得方程组,
视m为已知数,解得,
∴。
设前m项的和为b1,第m+1到2m项之和为b2,第2m+1到3m项之和为b3,则b1,b2,b3也成等差数列。
于是b1=30,b2=100-30=70,公差d=70-30=40。
∴b3=b2+d=70+40=110
∴前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.
解法三:
取m=1,则a1=S1=30,a2=S2-S1=70,从而d=a2-a1=40。
于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。
等差数列课后练习
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内。
1.若a≠b,数列a,x1,x2,b和数列a,y1,y2,b都是等差数列,则 ()
A. B. C.1 D.
2.在等差数列中,公差=1,=8,则= ( )
A.40 B.45 C.50 D.55
3.等差数列的前三项为,则这个数列的通项公式为 ()
A. B.C. D.
4.在等差数列,则在Sn中最大的负数为 ()
A.S17 B.S18 C.S19 D.S20
5.已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1,则此数列的公差d的取值范围是 ()
A.(-∞,-2)B.[-,-2]C.(-2,+∞)D.(—,-2)
6.在等差数列中,若,则n的值为 ()
A.18 B17. C.16 D.15
7.等差数列中,等于()
A.-20.5 B.-21.5 C.-1221 D.-20
8.已知某数列前项之和为,且前个偶数项的和为,则前个奇数项的和为 ()
A. B. C. D.
9.一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146所有项的和为234,则它的第七项等于 ()
A.22 B .21 C.19 D.18
10.等差数列中,≠0,若m>1且,,则m的值是()
A.10B.19 C.20 D.38
二、填空题:
请把答案填在题中横线上。
11.已知是等差数列,且则k=.
12.在△ABC中,A,B,C成等差数列,则.
13.在等差数列中,若,则.
14.是等差数列的前n项和,(n≥5,),=336,则n的值是.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.己知为等差数列,,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:
(1)原数列的第12项是新数列的第几项?
(2)新数列的第29项是原数列的第几项?
16.数列是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。
(1)求数列公差;
(2)求前项和的最大值;
(3)当时,求的最大值。
17.设等差数列的前n项的和为Sn,且S4=-62,S6=-75,求:
(1)的通项公式an及前n项的和Sn;
(2)|a1|+|a2|+|a3|+……+|a14|.
18.已知数列,首项a1=3且2an+1=Sn·
Sn-1(n≥2).
(1)求证:
{}是等差数列,并求公差;
(2)求{an}的通项公式;
(3)数列{an}中是否存在自然数k0,使得当自然数k≥k0时使不等式ak>
ak+1对任意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由.
一、选择题:
ABCCBDABDA
二、填空题:
11.8;
12.;
13.24;
14.21.
三、解答题:
15.分析:
应找到原数列的第n项是新数列的第几项,即找出新、旧数列的对应关系。
解:
设新数列为
即3=2+4d,∴,∴
,∴
即原数列的第n项为新数列的第4n-3项.
(1)当n=12时,4n-3=4×
12-3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项;
(2)由4n-3=29,得n=8,故新数列的第29项是原数列的第8项。
说明:
一般地,在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数,构成一个新的等差数列,则新数列的公差为原数列的第n项是新数列的第n+(n-1)m=(m+1)n-m项.
16.解:
(1),,,
∴ 为整数,∴.
(2)=23
=-2=-
∴当时最大=78
(3)时,0,故最大值为12.
17.分析:
通过解方程组易求得首项和公差,再