等差数列综合复习(教案+例题+习题)Word文档下载推荐.doc

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答案：

B；

解法一：

an=

∴an=2n－1（n∈N）

又an+1－an=2为常数，≠常数

∴{an}是等差数列，但不是等比数列.

解法二：

如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。

本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=Sn－Sn－1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。

练一练：

设是等差数列，求证：

以bn=为通项公式的数列为等差数列。

3、等差数列的通项：

或。

4、等差数列的前和：

，。

例3：

等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是（　　）

A．S7　　　　　　　　　 B．S8

C．S13 D．S15

设a2＋a4＋a15＝p（常数），

∴3a1＋18d＝p，解a7＝p.

∴S13＝＝13a7＝p.

C

例4．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n为（　　）

A．48B．49C．50D．51

∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1＝得d＝，令an＝33＝＋（n－1）×

，可解得n＝50.故选C.

如

（1）等差数列中，，，则通项　　　　；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______；

例5：

设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.

S9＝9a5＝－9，

∴a5＝－1，S16＝8（a5＋a12）＝－72.

－72

例6：

已知数列{an}为等差数列，若<

－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>

0的n的最大值为（　　）

A．11B．19

C．20D．21

∵<

－1，且Sn有最大值，

∴a10>

0，a11<

0，且a10＋a11<

0，

∴S19＝＝19·

a10>

S20＝＝10（a10＋a11）<

0.

所以使得Sn>

0的n的最大值为19，故选B.

B

如

（1）数列中，，，前n项和，则＝＿，＝；

（2）已知数列的前n项和，求数列的前项和.

5、等差中项：

若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。

提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

、、、及，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；

偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）

6.等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

（4）若、是等差数列，则、（、是非零常数）、、，…也成等差数列，而成等比数列；

若是等比数列，且，则是等差数列.

等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。

（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；

项数为奇数时，，（这里即）；

。

项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.

（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.

设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________；

（7）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；

“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

法一：

由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；

法二：

因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

上述两种方法是运用了哪种数学思想？

（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？

并求此最大值；

例7．

（1）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）

A.d＜0 B.a7＝0

C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值

（2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）

A.130 B.170 C.210 D.260

（1）答案：

C；

由S5<

S6得a1+a2+a3+…+a5<

a1+a2+…+a5+a6，∴a6>

又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，

由S7>

S8，得a8<

0，而C选项S9>

S5，即a6+a7+a8+a9>

02（a7+a8）>

由题设a7=0，a8<

0，显然C选项是错误的。

（2）答案：

由题意得方程组，

视m为已知数，解得，

∴。

设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。

于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。

∴b3=b2+d=70+40=110

∴前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.

解法三：

取m=1，则a1=S1=30，a2=S2－S1=70，从而d=a2－a1=40。

于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。

等差数列课后练习

一、选择题：

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。

1．若a≠b,数列a,x1,x2,b和数列a,y1,y2,b都是等差数列，则 （）

A． B． C．1 D．

2．在等差数列中，公差＝1，＝8，则＝　（　）

A．40 B．45 C．50　　 D．55

3．等差数列的前三项为，则这个数列的通项公式为 （）

A． B．C． D．

4．在等差数列，则在Sn中最大的负数为 （）

A．S17 B．S18 C．S19 D．S20

5．已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是 （）

A．（－∞,－2）B．[－,－2]C．（－2,+∞）D．（—,－2）

6．在等差数列中，若，则n的值为 （）

A．18 B17． C．16 D．15

7．等差数列中，等于（）

A．－20．5 B．－21．5 C．－1221 D．－20

8．已知某数列前项之和为，且前个偶数项的和为，则前个奇数项的和为 （）

A． B． C． D．

9．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于 （）

A．22 B ．21 C．19 D．18

10．等差数列中，≠0，若ｍ＞1且，，则ｍ的值是（）

A．10B．19 C．20 D．38

二、填空题：

请把答案填在题中横线上。

11．已知是等差数列，且则k=.

12．在△ABC中，A，B，C成等差数列，则.

13．在等差数列中，若，则.

14．是等差数列的前n项和，（n≥5，），=336，则n的值是.

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．己知为等差数列，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：

（1）原数列的第12项是新数列的第几项？

（2）新数列的第29项是原数列的第几项？

16．数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。

（1）求数列公差；

（2）求前项和的最大值；

（3）当时，求的最大值。

17．设等差数列的前ｎ项的和为Sn,且S4=－62,S6=－75,求：

（1）的通项公式an及前ｎ项的和Sn；

（2）|a1|+|a2|+|a3|+……+|a14|.

18．已知数列，首项a1=3且2an+1=Sn·

Sn－1（n≥2）.

（1）求证：

{}是等差数列,并求公差；

（2）求{an}的通项公式；

（3）数列{an}中是否存在自然数k0,使得当自然数k≥k0时使不等式ak>

ak+1对任意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由.

一、选择题：

ABCCBDABDA

二、填空题：

11．8；

12．；

13．24；

14．21.

三、解答题：

15．分析：

应找到原数列的第n项是新数列的第几项，即找出新、旧数列的对应关系。

解：

设新数列为

即3=2+4d，∴，∴

，∴

即原数列的第n项为新数列的第4n－3项．

（1）当n=12时，4n－3=4×

12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；

（2）由4n－3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。

说明：

一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数,构成一个新的等差数列，则新数列的公差为原数列的第n项是新数列的第n+（n－1）m=（m+1）n－m项．

16．解：

（1），，，

∴ 为整数，∴.

（2）=23

=－2=－

∴当时最大=78

（3）时，0，故最大值为12.

17．分析：

通过解方程组易求得首项和公差，再