离散型随机变量的均值与方差(详解教师版)Word格式文档下载.doc
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∴。
要点二：
离散型随机变量的方差与标准差
1.一组数据的方差的概念：
已知一组数据，，…，，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数
＋＋…＋叫做这组数据的方差。
2.离散型随机变量的方差：
则称＝＋＋…＋＋…称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望．
的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作．
⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。
3.期望和方差的关系：
4.方差的性质：
若（a、b是常数），是随机变量，则也是随机变量，；
要点三：
常见分布的期望与方差
1、二点分布：
若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则
期望
方差
证明：
∵,,,
∴
2、二项分布：
若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则
期望公式证明：
∵，
∴，
又∵，
∴＋＋…＋＋…＋
．
3、几何分布：
独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，，称离散型随机变量服从几何分布，记作：
。
若离散型随机变量服从几何分布，且则
随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。
4、超几何分布：
若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则
要点四：
离散型随机变量的期望与方差的求法及应用
1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：
①理解的意义，写出可能取的全部值；
②求取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望、方差的定义求出、、：
.
注意：
常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可．
2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用
①离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
②随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
方差越大数据波动越大。
③对于两个随机变量和，当需要了解他们的平均水平时，可比较和的大小。
④和相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较和，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关．
二、典型例题
类型一、离散型随机变量的期望
例1．已知随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
1
2
m
试求：
（1）E（X）；
（2）若y=2X－3，求E（Y）．
【思路点拨】分布列中含有字母m，应先根据分布列的性质，求出m的值，再利用均值的定义求解；
对于
（2），可直接套用公式，也可以先写出Y的分布列，再求E（Y）．
【解析】
（1）由随机变量分布列的性质，得
，，
（2）解法一：
由公式E（aX+b）=aE（X）+b，得
解法二：
由于Y=2X－3，所以y的分布如下：
－7
－5
－3
∴。
【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，对于aX+b型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以求出aX+b的分布列，再用定义求解．
举一反三：
【变式1】已知某射手射击所得环数的分布列如下：
4
5
6
7
8
9
10
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
求.
【答案】
【变式2】已知随机变量ξ的分布列为
ξ
3
n
其中m，n∈[0,1），且E（ξ）＝，则m，n的值分别为________．
【答案】，
由p1＋p2＋…＋p6＝1，得m＋n＝，
由E（ξ）＝，得－m＝，
∴m＝，n＝.
【变式3】随机变量ξ的分布列为：
0.4
0.3
则E（5ξ＋4）等于（ ）
A．13 B．11C．2.2 D．2.3
【答案】A
由已知得
E（ξ）＝0×
0.4＋2×
0.3＋4×
0.3＝1.8，
∴E（5ξ＋4）＝5E（ξ）＋4＝5×
1.8＋4＝13.
【变式4】设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且（），，则；
【答案】；
由分布列的概率和为1，有，
又，即，
解得，，故。
例2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数。
求：
①的概率分布列；
②的数学期望。
【思路点拨】本题求取各个值的概率，其类型显然是古典概型。
【解析】①依题意的取值为0、1、2、3、4
=0时，取得2黑球，∴，
=1时，取得1黑球1白球，∴，
=2时，取2白球或1红球1黑球，∴，
=3时，取1白球1红球，∴，
=4时，取2红球，∴，
∴分布列为
p
②期望.
【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表．
【变式1】随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．
【答案】抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
所以
1×
＋2×
＋3×
＋4×
＋5×
＋6×
＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）×
＝3.5．
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
【变式2】甲、乙、丙、丁独立地破译一个密码，其中甲的成功率是，乙、丙、丁的成功率都是．
（1）若破译密码成功的人数为X，求X的概率分布；
（2）求破译密码成功人数的数学期望．
（1）破译密码成功的人数X的可能取值为0，1，2，3，4．
，
则X的概率分布表为
（2）由
（1）知，
即破译密码成功的人数的数学期望为1.5．
【变式3】交5元钱，可以参加一次抽奖，已知一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和．求抽奖者获利的数学期望．
【答案】抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中ξ取每一个值时所代表的随机事件的概率是容易获得的，本题的目标是求参加抽奖的人获利的数学期望，由ξ与的关系为=ξ－5，利用公式
E（）=E（ξ）－5可获解答．
设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下：
ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元，1个5元），ξ=10（抽到2个5元）．
所以，由题意得，，，
∴．
又设为抽奖者获利的可能值，则=ξ－5，所以抽奖者获利的期望为
．
例3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，
（1）求X的概率分布；
（2）求X和Y的数学期望．
【思路点拨】甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．
（1），
所以X的概率分布如下表：
或由题意，。
∴，。
【总结升华】在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值．
【变式1】有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品数的期望。
【答案】设抽出次品数为，因为被抽商品数量相当大，抽20件商品可以看作20次独立重复试验，
所以,
所以
【变式2】
一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，
则~B（20,0.9）,,
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
类型二、离散型随机变量的方差
例4．已知离散型随机变量的概率分布为
离散型随机变量的概率分布为
3．7
3．8
3．9
4．1
4．2
4．3
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
【解析】；
；
=0.04,.
【总结升华】本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．＝2，=
0.2，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
【变式1】已知随机变量ξ的分布列如下表：
（1）求E（ξ），D（ξ），η；
（2）设η=2ξ+3，求E（η），D（η）．
（1）；
，。
（2），。
【变式2】设随机变量X的概率分布为
求D（X）。
【答案】本题考查方差的求法．可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定义求之．也可直接利用公式D（X）=E（X2）－[E（X）]2来解．
解法一：
解法二：
由解法一可求得。
又
例5.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品数的期望与方差。
【思路点拨
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