研究院北京二模理分类汇编数列及推理与证明压轴题教师版Word格式.docx

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6.18

7.（2018朝阳二模·

理）设等差数列的前项和为．若，，则数列的通项公式可以是____．

7.（答案不唯一）

8.（2018东城二模·

理）设等比数列的公比，前n项和为Sn，则=_______．

8.

9.（2018顺义二模·

理）（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“陪伴数列”.

（Ⅰ）写出数列的“陪伴数列”；

（Ⅱ）若的“陪伴数列”是.试证明：

成等差数列.

（Ⅲ）若为偶数，且的“陪伴数列”是，证明：

.

9.（Ⅰ）解：

.………………3分

（Ⅱ）证明：

对于数列及其“陪伴数列”，

因为，

，

……

将上述几个等式中的第这4个式子都乘以，

相加得

即

故

所以成等差数列.………………8分

（Ⅲ）证明：

因为，

由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得

即，.………………13分

10.（2018海淀二模·

理）（本小题共13分）

如果数列满足“对任意正整数，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为.

（Ⅰ）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；

（Ⅱ）若数列具有“性质P”，求证：

且；

（Ⅲ）若数列具有“性质P”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？

并说明理由

10.（本小题13分）

解：

（Ⅰ）若，公差，则数列不具有性质． 1分

理由如下：

由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！

所以对任意的，． 3分

（Ⅱ）若数列具有“性质P”，则

①假设，，则对任意的，.

设，则，矛盾！

4分

②假设，，则存在正整数，使得

设，，，…，，，，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾！

6分

③假设，，则存在正整数，使得

设，，，…，，，，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾！

8分

综上，，．

（Ⅲ）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得．

若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数，

这与数列具有“性质P”矛盾，故．

设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，设

，

则，

因为，所以，即数列的每一项均是整数．

由（Ⅱ）知，，，故数列的每一项均是自然数，且是正整数．

由题意知，是数列中的项，故是数列中的项，设，则

即．

因为，，故是的约数．

所以，,．

当时，，得，故

，共2019种可能；

，共1010种可能；

，共3种可能；

，共2种可能；

当时，，得，故

当时，，得，故

，共1种可能；

，共1种可能；

，共1种可能．

综上，满足题意的数列共有（种）．

经检验，这些数列均符合题意． 13分

11.（2018丰台二模·

已知数列的前项和为，，，当时，其中，是数列的前项中的数对的个数，是数列的前项中的数对的个数．

（Ⅰ）若，求，，的值；

（Ⅱ）若为常数，求的取值范围；

（Ⅲ）若数列有最大项，写出的取值范围（结论不要求证明）．

11.（本小题共13分）

（Ⅰ）因为，，所以，所以．…………………1分

因为，所以．…………………2分

因为，所以．…………………4分

所以，，．

（Ⅱ）当时，，，…………………5分

当时，因为，所以，

所以．

因为，所以，所以．…………………7分

因为，所以，所以．…………………9分

所以时，为常数的必要条件是．

当时，，

因为当时，，都有，

所以当符合题意，同理和也都符合题意．…………………10分

所以的取值范围是．

（Ⅲ）或．…………………13分

（若用其他方法解题，请酌情给分）

12.（2018房山二模·

理）（本小题分）

已知集合，其中，中所有不同值的个数.

（Ⅰ）设集合,分别求；

（Ⅱ）若集合求证：

；

（Ⅲ）是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；

若不存在，请说明理由．

12.解：

（Ⅰ）由

由

…………3分

（Ⅱ）证明:

最多有个值,

又集合任取

当时,不妨设

即

当

∴当且仅当

即所有的值两两不同，

…………9分

（Ⅲ）存在最小值，且最小值为，

不妨设可得，

∴中至少有个不同的数，即，

取，，即的不同值共有个，

故的最小值为．…………13分

13.（本小题满分13分）

数列：

的各项均为整数，满足：

，且，其中．

（Ⅰ）若，写出所有满足条件的数列；

（Ⅱ）求的值；

．

（Ⅰ）满足条件的数列为：

．………………3分

（Ⅱ）．………………4分

否则，假设，因为，所以．又，因此有

这与矛盾！

所以．………………8分

（Ⅲ）先证明如下结论：

，必有.

否则，令，

注意左式是的整数倍，因此．

所以有：

所以．………………10分

因此有：

将上述个不等式相加得， ①

又 ， ②

两式相减即得．………………13分

14.（2018朝阳二模·

理）若无穷数列满足：

存在（，，），并且只要，就有（为常数，），则成具有性质.

（1）若具有性质，且，，，，，，求；

（2）若无穷数列的前项和为，且（），证明存在无穷多个的不同取值，使得数列具有性质；

（3）设是一个无穷数列，数列中存在（，，），且（），求证：

“为常数列”是“对任意正整数，都具有性质”的充分不必要条件.

14.【解析】

（Ⅰ）因为具有性质,且

所以

由,得,所以,经检验符合题意.

（Ⅱ）因为无穷数列的前项和为,且,

所以当时,,

若存在则,

取（且为常数）,

则,对,有

所以数列有性质,且的不同取值有无穷多个.

（Ⅲ）证明:

当为常数列时,有（常数）,

对任意正整数,因为存在,则由,必有,

进而有,这时,

所以都具有性质.

所以,“为常数列”是“对任意正整数,都具有性质”的充分条件.

取,对任意正整数,

由,

得,因为为正整数,所以,且.

当时,

对任意,则同为奇数或同为偶数,

①若同为偶数,则成立;

②若同为奇数,则成立;

所以若对于任意满足,则取,,

故具有性质,但不为常数列,

所以“为常数列”是“对任意正整数,都具有性质”的不必要条件.

证毕.

15.（2018东城二模·

理）（本小题13分）

设均是正整数，数列满足：

（I）若，，写出的值；

（II）若，为给定的正奇数，求证：

若为奇数，则；

若为偶数，则；

（III）在（II）的条件下，求证：

存在正整数，使得.

15.（20）（共13分）

（I）1或12.……………………………………………………………………………4分

（II）①当时，为奇数，成立，为偶数，.

②假设当时，若为奇数，则，若为偶数，则.

那么当时，若是奇数，则是偶数，；

若是偶数，.

此时若是奇数，则满足，若是偶数，满足.

即时结论也成立.

综上，若为奇数，则；

若为偶数，则.……………………9分

（III）由（II）知，中总存在相等的两项.不妨设是相等两项中角标最小

的两项，下证.假设.

①若，由知和均是由和除以2得到，即有

，与的最小性矛盾；

②若，由知和均是由和加上得到，

即有，与的最小性矛盾；

综上，，则.

即若，是正奇数，则存在正整数，使得.…………13分

16.（2018昌平二模·

已知正项数列中，若存在正实数，使得对数列中的任意一项，也是数列中的一项，称数列为“倒置数列”，是它的“倒置系数”．

（I）若数列：

是“倒置系数”为的“倒置数列”，求和的值；

（II）若等比数列的项数是，数列所有项之积是，求证：

数列是“倒置数列”，并用和表示它的“倒置系数”；

（III）是否存在各项均为整数的递增数列，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”,如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．

16.（共13分）

（I）因为数列：

是“倒置系数”为的“倒置数列”.

所以也是该数列的项，且.

故，

即.--------------------3分

（II）因为数列是项数为项的有穷正项等比数列，取，

对数列中的任意一项，

也是数列中的一项，

由“倒置数列”的定义可知，数列是“倒置数列”；

又因为数列所有项之积是，

所以即.

--------------------9分

（III）假设存在这样的等差数列为“倒置数列”，设它的公差为，“倒置系数”为p.

因为数列为递增数列，所以

则

又因为数列为“倒置数列”，则正整数也是数列中的一项（），

故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，

则，得，

即由，故，与矛盾.

所以，不存在满足条件的数列，使得它既是等差