求数列通项公式的十种方法Word格式.doc
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两边分别相加得
例1已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
由得则
所以数列的通项公式为。
例2已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一：
所以
解法二：
两边除以，得，
则，故
因此，
则
练习1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案：
练习2.已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：
裂项求和
评注：
已知,，其中f（n）可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列中,且,求数列的通项公式.
解:
由已知得,
化简有,由类型
（1）有,
又得,所以,又,,
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
1.○。
------------ 适用于：
----------这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若，则
两边分别相乘得，
例4已知数列满足，求数列的通项公式。
因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.
已知等式可化为：
（）（n+1）,即
时，
==.
本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.
练习.已知,求数列{an}的通项公式.
答案：
-1.
本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如,其中）型
（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：
设,
得,与题设比较系数得
所以所以有：
因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，
所以即：
.
规律：
将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式
逐项相减法（阶差法）：
有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型
（1）即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列中，，求数列的通项公式。
又是首项为2，公比为2的等比数列
，即
两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……
练习．已知数列中，求通项。
2．形如：
（其中q是常数，且n0,1）
①若p=1时，即：
，累加即可.
②若时，即：
，
求通项方法有以下三种方向：
i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列
即：
令，则,然后类型1，累加求通项.
ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。
即：
令,则可化为.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：
目的是把所求数列构造成等差数列
设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.
注意：
应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。
例7已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一（待定系数法）：
设，比较系数得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即
解法二（两边同除以）：
两边同时除以得：
，下面解法略
解法三（两边同除以）：
练习.（2003天津理）
设为常数，且．证明对任意≥1，；
3．形如（其中k,b是常数，且）
方法1：
逐项相减法（阶差法）
方法2：
待定系数法
通过凑配可转化为;
解题基本步骤：
1、确定=kn+b
2、设等比数列，公比为p
3、列出关系式,即
4、比较系数求x,y
5、解得数列的通项公式
6、解得数列的通项公式
例8在数列中，求通项.（逐项相减法）
，①
时，，
两式相减得.令,则
利用类型5的方法知即②
再由累加法可得.亦可联立①②解出.
例9.在数列中，,求通项.（待定系数法）
原递推式可化为
比较系数可得：
x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列，首项,公比为.即：
故.
4．形如（其中a,b,c是常数，且）
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例10已知数列满足，求数列的通项公式。
设
比较系数得，
所以
由，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。
5.形如时将作为求解
分析：
原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。
例11已知数列满足，求数列的通项公式。
设
比较系数得或，不妨取，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）
则，则是首项为4，公比为3的等比数列
，所以
练习.数列中，若,且满足,求.
.
四、迭代法（其中p,r为常数）型
例12已知数列满足，求数列的通项公式。
因为，所以
又，所以数列的通项公式为。
注：
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
例13.（2005江西卷）
已知数列，
（1）证明
（2）求数列的通项公式an.
（1）略
（2）所以
又bn=－1，所以.
本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：
设c，则c,转化为上面类型
（1）来解
五、对数变换法适用于（其中p,r为常数）型p>
0，
例14.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
两边取对数得：
，，设，则是以2为公比的等比数列，，，，∴
练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.
例15已知数列满足，，求数列的通项公式。
因为，所以。
两边取常用对数得
设 （同类型四）
由，得，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。
六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例16已知数列满足，求数列的通项公式。
求倒数得为等差数列，首项，公差为，
七、换元法适用于含根式的递推关系
例17已知数列满足，求数列的通项公式。
令，则
代入得
即
因为，
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。
例18已知数列满足，求数列的通项公式。
由及，得
由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，
由此可知，当时等式也成立。
根据
（1），
（2）可知，等式对任何都成立。
九、阶差法（逐项相减法）
1、递推公式中既有，又有
分析：
把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例19已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。
∵对任意有⑴
∴当n=1时，，解得或
当n≥2时，⑵
⑴-⑵整理得：
∵各项均为正数，∴
当时，，此时成立
当时，，此时不成立，故舍去
练习。
已知数列中,且,求数列的通项公式.
2、对无穷递推数列
例20已知数列满足，求的通项公式。
因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则故
所以 ③
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为
十、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：
函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。
由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。
类型一：
形如
例21已知数列中，，求数列的通项公式。
递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1
∴，……
类型二：
递归函数为
（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴
（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。
例22.设数列满足,求数列的通项公式.
此类问题常用参数法化等比数列求解.
对等式两端同时加参数t,得：
令,解之得t=1,-2代入得
,
相除得,即{}是首项为，
公比为的等比数列,=,解得.
两边取倒数得，
令b，则b,转化为累加法来求.
例23已知数列满足，求数列的通项公式。
令，得，则是函数的两个不动点。
因为
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。
练习1：
已知满足，求的通项
练习2。
已知数列满足，求数列的通项
练习3.（2009陕西卷文）
已知数列满足，.
令，证明：
是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式。
（1）是以1为首项，为公比的等比数列。
（2）。
十一。
特征方程法形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得
例24已知数列满足，求数列的通项
其特征方程为，解得，令，
由，得，
例25已知数列满足，求数列的通项
其特征方
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