正余弦定理Word文档下载推荐.doc

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c=sinA:

sinB:

sinC;

④

解决的问题

①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；

②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。

①已知三边，求各角；

②已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

注：

在ΔABC中，sinA>

sinB是A>

B的充要条件。

（∵sinA>

sinBa>

bA>

B）

2、ΔABC中常用公式

（1）A>

Ba>

b,a+b>

c,a-b<

c；

；

（2）A＋B＋C＝π

（3）；

（4）；

（5）。

3.正弦定理应用范围：

　　①已知两角和任一边，求其他两边及一角．

　　②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．

③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．

已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：

（1）A为锐角

一解两解一解

（2）A为锐角或钝角

当时有一解.

4．余弦定理应用范围：

（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；

（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边

【典型例题】

[例1]已知在中，，，解此三角形。

练习：

不解三角形，判断下列三角形解的个数。

（1），，

（2），，

（3），，

（4），，

正弦定理余弦定理的应用：

例2：

在中，角所对的边分.若，则（）

A．B．C．-1D．1

练习：

已知A、B、C为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C的值．

在△ABC中，，则A的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

利用正弦定理余弦定理判断三角形的形状及求取值范围

[例3]若△的三个内角满足则△

A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.

C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

1、在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为______．

2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝

（1）判断△ABC的性状；

（2）若|＋|＝2，求·

的取值范围．

3、在△ABC中，cos2＝，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　）

A．正三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

利用正余弦定理求三角形面积

〖例4〗（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足，．

（I）求的面积；

（II）若，求的值．

B

D

C

A

1.在中，角所对的边分别为，且满足，．

（I）求的面积；

（II）若，求的值．

2.已知△的内角的对边分别为，其中，

又向量m，n，m·

n=1．

（1）若，求的值；

（2）若，求△的面积．

2.△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．

高考题演练：

（1）（2010年陕西）17.（本小题满分12分）

在△ABC中，已知B=45°

D是BC边上的一点，

AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

16、（本小题满分12分）

的内角所对的边分别为

（Ⅰ）若成等差数列，证明：

（Ⅱ）若成等比数列，求的最小值.

（2）在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.

正余弦定理实际应用问题

〖例5〗（本小题满分12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°

，B点北偏西60°

的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°

且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？

已知在中，，，解此三角形。

解：

由余弦定理得：

∴∴

又∴，或

∴或

∴，，或，，

[例4]已知、、是中，、、的对边，S是的面积，若，，，求的长度。

∵，，

∴∴或

∴当时，∴

当时，∴

即∴又∴

[例6]在中，已知，，求A、B。

由余弦定理，

∴

由正弦定理：

∵∴∴B为锐角∴

[例7]已知中，，外接圆半径为。

（1）求

（2）求面积的最大值

（1）由

又∴

（2）

∴当即时，

[例8]在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c依次成等比数列，求的取值范围。

∵

∴

∵∴∴

[例9]在中，若三边长为连续三个正整数，最大角是钝角，求此最大角。

设，，，且

∵C是钝角∴

解得∵∴或3

当时，（舍去）

当时，∴

∴最大角为

如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°

，B点北偏西60度的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°

且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

【模拟试题】

（答题时间：

60分钟）

一.选择题：

1.在中，一定成立的等式是（）

A. B.

C. D.

2.在中，若，则是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形

3.已知中，AB=1，BC=2，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

4.中，若，则B为（）

A.B.C.或D.或

5.的三边满足，则等于（）

6.在中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（）

7.中，“”是“A=B”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

8.中，，则A等于（）

9.中，，，，则这个三角形是（）

A.等边三角形B.三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

10.在中，，则=（）

A.2RB.RC.4RD.R

二.填空：

1.在中，已知，，，则最大角的余弦值为。

2.在中，，则三角形为。

3.在中，2，则最小角为。

4.若，则A=。

三.解答题：

1.在中，BC=，，a，b是的两个根，且

=1，求

（1）角C的度数

（2）AB的长（3）的面积。

2.在中，，，，求、和。

3.若2，3，x为三边组成一个锐角三角形，求的范围。

4.在中，若，，试判断形状。

【试题答案】

一.

1.C2.D3.A4.C5.D6.B7.C8.C9.D10.A

二.

1.2.等腰三角形3.4.

三.

1.解：

（1）∴

（2）∵、是的两个根∴

（3）

2.解：

∵

∴

3.解：

∵为锐角∴且

∴∴∴

4.解：

∴∴为且

∴，∴

由∴∴

∵为锐角∴∴∴

∴是等腰直角三角形

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