数学归纳法证明例题Word文件下载.doc
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正确方法是:
当n=k+1时.
这就说明,当n=k+1时,等式亦成立,
例2.是否存在一个等差数列{an},使得对任何自然数n,等式:
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)
都成立,并证明你的结论.
分析:
采用由特殊到一般的思维方法,先令n=1,2,3时找出来{an},然后再证明一般性.
解:
将n=1,2,3分别代入等式得方程组.
,
解得a1=6,a2=9,a3=12,则d=3.
故存在一个等差数列an=3n+3,当n=1,2,3时,已知等式成立.
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3,对大于3的自然数,等式
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立.
因为起始值已证,可证第二步骤.
假设n=k时,等式成立,即
a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)
那么当n=k+1时,
a1+2a2+3a3+…+kak+(k+1)ak+1
=k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(k+1)+3]
=(k+1)(k2+2k+3k+6)
=(k+1)(k+2)(k+3)
=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
这就是说,当n=k+1时,也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立.
综合上述,可知存在一个等差数列an=3n+3,对任何自然数n,等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立.
例3.证明不等式(n∈N).
①当n=1时,左边=1,右边=2.
左边<
右边,不等式成立.
②假设n=k时,不等式成立,即.
这就是说,当n=k+1时,不等式成立.
由①、②可知,原不等式对任意自然数n都成立.
说明:
这里要注意,当n=k+1时,要证的目标是
,当代入归纳假设后,就是要证明:
认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标.
例4.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,当n∈N时,an+2=an+1+an.
求证:
数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除.
本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的,因此可考虑用数学归纳法.
①当m=1时,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3,能被3整除.
②当m=k时,a4k+1能被3整除,那么当n=k+1时,
a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3
=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1
=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1
=3a4k+2+2a4k+1
由假设a4k+1能被3整除,又3a4k+2能被3整除,故3a4k+2+2a4k+1能被3整除.
因此,当m=k+1时,a4(k+1)+1也能被3整除.
由①、②可知,对一切自然数m∈N,数列{an}中的第4m+1项都能被3整除.
例5.n个半圆的圆心在同一条直线l上,这n个半圆每两个都相交,且都在直线l的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?
设这些半圆最多互相分成f(n)段圆弧,采用由特殊到一般的方法,进行猜想和论证.
当n=2时,由图
(1).两个半圆交于一点,则分成4段圆弧,故f
(2)=4=22.
当n=3时,由图
(2).三个半径交于三点,则分成9段圆弧,故f(3)=9=32.
由n=4时,由图(3).三个半圆交于6点,则分成16段圆弧,故f(4)=16=42.
由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)=n2.
用数学归纳法证明如下:
①当n=2时,上面已证.
②设n=k时,f(k)=k2,那么当n=k+1时,第k+1个半圆与原k个半圆均相交,为获得最多圆弧,任意三个半圆不能交于一点,所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧,这样就多出k条圆弧;
另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段,这样又多出了k+1段圆弧.
∴f(k+1)=k2+k+(k+1)
=k2+2k+1=(k+1)2
∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧.
由①、②可知,满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧.
这里要注意;
增加一个半圆时,圆弧段增加了多少条?
可以从f
(2)=4,f(3)=f
(2)+2+3,f(4)=f(3)+3+4中发现规律:
f(k+1)=f(k)+k+(k+1).
N的4K+1次方-N为何是10的倍数?
先证明n^5-n一定是10的倍数
再用数学归纳法证明n^(4k+1)-n也是10的倍数
n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
显然n,n-1中必有一个数是偶数所以n^5-1是2的倍数
下面分情况讨论
n=5t5t+15t+25t+35t+4都能得到n^5-n是5的倍数
而(2,5)互质所以n^5-n是10的倍数
所以当k=1时成立
假设当k=r时成立即n^(4r+1)-n=10s
则当k=r+1时n^(4r+4+1)-n=(n^4r+1-n)*n^4+(n^5-n)
=n^4*10s+n^5-n
由于n^5-n是10的倍数
所以当k=r+1时也成立
证明:
2的n次方大于2n+1,n是大于3的整数
n=3时,2^3=8>
2*3+1,2的n次方大于2n+1成立
设n≤k,k>
3时成立
则:
2^(k+1)=2*2^k>
2*(2k+1)=4k+2>
2k+8>
2(k+1)+1
n=k+1时成立
所以,
2的n次方大于2n+1,n是大于2的整数
当且仅当指数n不能被4整除时,1n+2n+3n+4n能被5整除
证明设A=1^n+2^n+3^n+4^n,当n=4k(k为整数)时,1^n、3^n的个位数均为1,2^n、4^n的个位均为6,1+1+6+6=14,A的个位为4,显然A不能被5整除
当n≠4k时,⑴若n=4k+1,易知A的个位=(1+2+3+4)的个位=0,∴A能被5整除
⑵当n=4k+2时,A的个位=(1+4+9+16)的个位=0,∴A能被5整除
⑶当n=4k+3时,A的个位=(1+8+27+64)的个位=0,∴A能被5整除
综上所述,
当且仅当指数n不能被4整除时,
A能被5整除,
也即当且仅当指数n不能被4整除时,
1^n+2^n+3^n+4^n能被5整除
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