数列知识点所有性质总结Word文档格式.doc

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特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：

若或（常数）是等差数列．

（2）等差中项：

数列是等差数列．

⑶数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：

若或（常数）是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

、、、及，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；

③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；

公差为2）

8..等差数列的性质：

（1）当公差时，

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：

，

（4）若、为等差数列，则都为等差数列

（5）若{}是等差数列，则，…也成等差数列

（6）数列为等差数列,每隔k（k）项取出一项（）仍为等差数列

（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和

1.当项数为偶数时，

2、当项数为奇数时，则

（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、的前和分别为、，且，

则.

（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和

（10）求的最值

法一：

因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

法二：

（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当由可得达到最大值时的值．

（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即当由可得达到最小值时的值．或求中正负分界项

法三：

直接利用二次函数的对称性：

由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。

若Sp=Sq则其对称轴为

注意：

解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：

即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

二、等比数列

1.等比数列的定义：

，称为公比

2.通项公式：

，首项：

；

公比：

推广：

，从而得或

3.等比中项

（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：

同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列是等比数列

4.等比数列的前n项和公式：

（1）当时，

（2）当时，

（为常数）

5.等比数列的判定方法

（1）用定义：

对任意的n,都有为等比数列

（2）等比中项：

（0）为等比数列

（3）通项公式：

为等比数列

（4）前n项和公式：

6.等比数列的证明方法

依据定义：

若或为等比数列

7.注意

（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；

如奇数个数成等差，可设为…，…（公比为，中间项用表示）；

8.等比数列的性质

（1）当时

①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底为公比

②前n项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比

（2）对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

（3）若m+n=s+t（m,n,s,t）,则.特别的,当n+m=2k时,得

（4）列,为等比数列,则数列,,,（k为非零常数）均为等比数列.

（5）数列为等比数列,每隔k（k）项取出一项（）仍为等比数列

（6）如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列

（7）若为等比数列,则数列，，，成等比数列

（8）若为等比数列,则数列,,成等比数列

（9）①当时，②当时，

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;

④当q<

0时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列中,当项数为2n（n）时,,.

（11）若是公比为q的等比数列,则

三、等差数列与等比数列性质的比较

等差数列性质

等比数列性质

1、定义

2、通项

公式

3、前n项和

4、中项

a、A、b成等差数列A=；

是其前k项与后k项的等差中项，即：

=

a、A、b成等比数列

（不等价于，只能）;

是其前k项与后k项的等比中项，即：

5、下标和公式

若m+n=p+q,则

特别地,若m+n=2p,则

若m+n=p+q,则特别地,若m+n=2p,则

6、首尾项性质

等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和,即：

等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积,即：

7、结论

{}为等差数列,若m,n,p成等差数列,则成等差数列

{}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则成等比数列

（两个等差数列的和仍是等差数列）

等差数列{},{}的公差分别为,则数列{}仍为等差数列，公差为

（两个等比数列的积仍是等比数列）

等比数列{},{}的公比分别为,则数列{}仍为等比数列，公差为

取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为

取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为

若则

无此性质；

若

成等差数列，

公差为

成等差数列，公比为

当项数为偶数时，

当项数为奇数时，

，

8、等差（等比）数列的判断方法

①定义法：

②等差中项概念；

③函数法：

关于n的一次函数数列是首项为p+q，公差为p的等差数列；

④数列的前n项和形如（a，b为常数），那么数列是等差数列，

（均为不为0的常数，），则数列是等比数列．

④数列的前n项和形如

（均为不等于0的常数且q≠1），则数列是公比不为1的等比数列．

9、共性

非零常数列既是等差数列又是等比数列

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