数列应用题专题训练Word格式文档下载.doc

数列应用题专题训练Word格式文档下载.doc

《数列应用题专题训练Word格式文档下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列应用题专题训练Word格式文档下载.doc（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

　分析：

这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。

　　解：

若不计复利，5年的零存整取本利是

　　2000（1+5×

0.065）+2000（1+4×

0.065）+…+2000（1+0.065）=11950；

　　若计复利，则

　　2000（1+5%）5+2000（1+5%）4+…+2000（1+5%）≈11860元。

　　所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。

二、等差、等比数列问题

等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。

例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。

购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。

若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？

全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？

购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。

　　设每次所付欠款顺次构成数列{an}，则

　　a1=50+1000×

0.01=60元，

　　a2=50+（1000-50）×

0.01=59.5元，

　　a3=50+（1000-50×

2）×

0.01=59，

　　……

　　an=60-（n-1）·

0.5

　　所以{an}是以60为首项，-0.5为公差的等差数列，

　　故a10=60-9×

0.5=55.5元

　　20次分期付款总和

　　S20=×

20=1105元，

　　实际付款1105+150=1255（元）

　　答：

第10个月该付55.5元，全部付清后实际共付额1255元。

例3、（疾病控制问题）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。

某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。

由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？

并求这一天的新患者人数。

分析：

设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；

从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。

这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。

略解：

由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an=50n—30；

从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=—30，bn=（50n-60）+（n-1）（-30）=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20（30-n）-30=-20n+570.

故共感染者人数为：

=8670，化简得：

n2-61n+588=0,解得n=12或n=49（舍），即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。

例4（住房问题）某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？

（精确到0.01）

解：

1991年、1992年、……2000年住房面积总数成AP

a1=6×

500=3000万m2，d=30万m2，

a10=3000+9×

30=3270

1990年、1991年、……2000年人口数成GP

b1=500,q=1%,

∴2000年底该城市人均住房面积为：

点评：

实际问题中提炼出等差、等比数列。

例5（浓度问题）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，

问：

1.第5次倒出的的1kg盐水中含盐多少g？

2.经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？

此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：

a1=0.2kg,a2=×

0.2kg,a3=（）2×

0.2kg

由此可见：

an=（）n-1×

0.2kg,a5=（）5-1×

0.2=（）4×

0.2=0.0125kg

2.由1.得{an}是等比数列a1=0.2,q=

掌握浓度问题中的数列知识。

例6．（减员增效问题）某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年元，分流后进入新经济实体，第年的收入为元，

（1）求的通项公式；

（2）当时，这个人哪一年的收入最少？

最少为多少？

（3）当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？

（1）由题意得，当时，，当时，，

∴．

（2）由已知，

当时，要使得上式等号成立，

当且仅当，即，解得，因此这个人第三年收入最少为元．

（3）当时，，上述等号成立，须且因此等号不能取到，

当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．

例7．（等差等比综合问题）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：

甲方案：

一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；

乙方案：

每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．

两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？

（计算精确到千元，参考数据：

）

甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：

（万元）

到期时银行的本息和为（万元）

∴甲方案扣除本息后的净获利为：

逐年获利成等差数列，前10年共获利：

贷款的本利和为：

∴乙方案扣除本息后的净获利为：

所以，甲方案的获利较多．

三、an-an-1=f（n）,f（n）为等差或等比数列

有的应用题中的数列递推关系，an与an-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f（n）本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。

例8、（广告问题）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件。

若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出件，（n∈N*）。

（1）试写出销售量s与n的函数关系式；

（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

对于

（1）中的函数关系，设广告费为n千元时的销量为sn,则sn-1表示广告费为（n-1）元时的销量，由题意，sn——sn-1=，可知数列{sn}不成等差也不成等比数列，但是两者的差构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：

解法一、直接列式：

由题，s=b++++…+=b（2-）

（广告费为1千元时，s=b+；

2千元时，s=b++；

…n千元时s=b++++…+）

解法二、（累差叠加法）设s0表示广告费为0千元时的销售量，

由题：

，相加得Sn-S0=+++…+,

即s=b++++…+=b（2-）。

（2）b=4000时，s=4000（2-）,设获利为t,则有t=s·

10-1000n=40000（2-）-1000n

欲使Tn最大，则：

，得，故n=5,此时s=7875。

即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。

四、an=C·

an-1+B，其中B、C为非零常数且C≠1

例9、（企业生产规划问题）某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？

（lg2=0.3）。

设经过n年后，该项目的资金为an万元，则容易得到前后两年an和an-1之间的递推关系：

an=an-1（1+25%）-200（n≥2），对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”：

由题，an=an-1（1+25%）-200（n≥2），即an=an-1-200，设an+λ=（an-1+λ），展开得an=an-1+λ，λ=-200，λ=-800，∴an-800=（an-1-800），即{an-800}成一个等比数列，a1=1000（1+25%）-200=1050,a1-800=250，∴an-800=250（）n-1，an=250（）n-1+800，令an≥4000，得（）n≥16，解得n≥12,即至少要过12年才能达到目标。

例10（分期付款问题）某人年初向银行贷款10万元用于买房：

（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？

（精确到一元）；

（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？

（精确到一元）。

（1）设每年还款x元，依题意得

　　x+x（1+5%）+x（1+2×

5%）+…+x（1+9×

5%）=100000×

（1+5%），

　　∴x≈12245元

（2）设每年还款x元，依题意得

　　x+x（1+4%）+x（1+4%）2+…+x（1+4%）9=100000（1+4%）10，

　　∴x≈12330元

（1）当年利率为5%，按单利计算，每年应归还12245元；

（2）当年利率为4%，按复利计算时，每年还款12330元。

　　评注：

上述例题是与数列有关的分期付款问题，两问所用公式各异。

（1）中的利率是单利（即当年的利息不计入次年的本金），故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式；

（2）中的利率是复利（即利滚利），故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式，导致这种区分的