排列组合问题常用方法(二十种)Word格式文档下载.doc

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变式、某人射击枪，命中枪，枪命中恰好有枪连在一起的情形的不同种数为。

命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有种排列。

三、相离问题插空法

例、一个晚会节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？

相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排个相声和个独唱共有种排列，第二步将个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有种排列，由分步计数原理得。

变式、某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节

目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为。

将个新节目插入原定个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有种排列，

四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法

例、人排队，其中甲、乙、丙人顺序一定，共有多少种不同的排法？

（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。

共有不同排法种数为：

。

（空位法）设想有把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有种坐法；

甲、乙、丙坐其余的三个位置，共有种坐法。

总共有种排法。

思考：

可以先让甲乙丙就坐吗？

（可以）

（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有种选法；

余下四个空座位让其余四人就坐，共有种坐法。

变式、人身高各不相等，排成前后排，每排人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的

排法？

人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。

若排成一排，则只有一种排法；

现排成前后两排，因此共有种排法。

五、平均分组问题倍除法（去重复法）

例、本不同的书平均分成堆，每堆本，有多少种不同的分法？

分三步取书有种分法，但存在重复计数。

记本书为，若第一步取，第二步取，第三步取，该分法记为，则在中还有、、、、共种分法，而这些分法仅是一种分法。

总共应有种分法。

平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，分组后一定要除以（为均分的组数），避免重复计数。

变式①、将个球队分成组，一组个队，其它两组个队，有多少种不同的分法？

第一步取个队为一组，有种分法；

余下个队平均分成两组，每组个队，有种分法，但存在重复计数。

记个队为，若第二步取，第三步取，该分法记为，则在中还有共种分法，而这种分法是同一种分法。

变式②、名学生分成组，其中一组人，另两组人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法？

㈠总的分组方法：

第一步取人为一组，有种分法；

余下个人平均分成两组，每组个人，有种分法，但存在重复计数。

记个人为，若第二步取，第三步取，该分法记为，则在中还有共种分法，而这种分法是同一种分法。

㈡正、副班长同分在人一组：

第一步在人中取人，加上正、副班长共人为一组，有种分法；

㈢正、副班长同分在人一组：

第一步在人中取人，有种分法；

第二步在余下的人中取人，有种分法；

第三步余下人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。

㈠减㈡减㈢得：

总共有种分法。

变式③、某校高二年级共有个班级，现从外地转入名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

排名，则不同的安排种数为。

前两步将转入的名学生平均分成两组，每组名学生，有种分法，但存在重复计数。

记名学生为，若第一步取，第二步取，该分法记为，则在中还有共种分法，而这种分法是同一种分法。

第三步将分成的两组分配到个班级，有种分法。

六、元素相同问题隔板法

例、有个运动员名额，分给个班，每班至少一个，有多少种分配方案？

隔板法也就是档板法。

第一步：

每班分配个名额，只有种分法；

第二步：

将剩下的个名额分配给个班。

取块相同隔板，连同个相同名额排成一排，共个位置。

由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。

每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原理知，共有种分法。

变式①、个相同的球装入个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？

每盒先装入个球，只有种装法；

将剩下的个球装入个盒中。

取块相同隔板，连同个相同的球排成一排，共个位置。

每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有种装法。

变式②、，求这个方程的自然数解的组数。

取块相同隔板，连同个相同的排成一排，共个位置。

每一种插板方法对应一组数，共有组数。

七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）

例、从十个数字中取出三个，使其和为不小于的偶数，不同的取法有多少种？

直接求不小于的偶数很困难，可用总体淘汰法。

十个数字中有个偶数个奇数，所取的三个数字含有个偶数的取法有，只含有个偶数的取法有，和为偶数的取法共有。

淘汰和小于的偶数共种、、、、、、、、，符合条件的取法共有。

变式、一个班有名同学，从中任抽人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种?

未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有种；

正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有种。

八、重排问题求幂法

例、把名实习生分配到个车间实习，共有多少种不同的分法？

完成此事共分六步：

把第一名实习生分配到车间有种分法，把第二名实习生分配到车间也有种分法，依此类推，由分步计数原理共有种不同的分法。

变式①、某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为。

完成此事共分两步：

把第一个新节目插入原定个节目排后形成的六个空中，有种插法；

把第二个新节目插入前面个节目排后形成的七个空中，有种插法。

由分步计数原理共有种不同的插法。

变式②、某层大楼一楼电梯上来名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？

完成此事共分八步：

第一名乘客下电梯有种下法，第二名乘客下电梯也有种下法，依此类推，由分步计数原理共有种不同的下法。

九、环（圆）排问题直排法

①环形排列问题：

如果在圆周上个不同的位置编上不同的号码，那么从个不同的元素的中选取个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；

如果从个不同的元素的中选取个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题。

②环形排列数：

一个个元素的环形排列，相当于一个有个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个个元素的环形排列对应着个直线排列。

设从个元素中取出个元素组成的环形排列数为个，则对应的直线排列数为个。

又因为从个元素中取出个元素排成一排的排列数为个，所以，即。

③环形排列数公式：

㈠从个元素中取出个元素组成的环形排列数为。

㈡个元素的环形排列数为。

例、人围桌而坐，共有多少种坐法？

围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线（如图所示），其余人共有种不同的坐法。

变式、颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？

可穿成种不同的钻石圈。

十、多排问题单排法

例、人排成前后两排，每排人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？

人排前后两排，相当于人坐把椅子，可以把椅子排成一排。

先排前个位置上的个特殊元素甲、乙有种排法；

再排后个位置上的个特殊元素丙有种；

其余的人在个位置上任意排列有种。

共有种不同的排法。

排好后，按前人为前排，后人为后排分成两排即可。

变式、有两排座位，前排个座位，后排个座位。

现安排人就坐，规定前排中间的个座位不能坐，并且这人不左右相邻，那么不同坐法的种数为。

①前后两排共有个座位。

②前排中间第号个座位甲、乙二人不能坐。

③甲、乙二人不能左右相邻。

前排第号和后排第号个座位，甲、乙中任一人就坐，有种坐法，与之相邻座位只能排除一个，另一人有种坐法，共有种坐法；

而其它个座位，甲、乙中任一人就坐，有种坐法，与之相邻座位要排除两个，另一人有种坐法，共有种坐法。

总共有种不同坐法。

十一、排列组合混合问题先选后排法

例、有个不同的小球，装入个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？

第一步从个球中选出个组成复合元素，有种方法；

第二部把个元素（包含一个复合元素）装入个不同的盒内，有种方法。

变式、一个班有名战士，其中正、副班长各人。

现从中选人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正、副班长有且只有人参加，则不同的选法有多少种？

①正、副班长选一人，有种选法。

②名战士选三人，有种选法。

③给选出的人分配四种不同任务，有种分配法。

十二、小集团问题先整体后局部法

例、用组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在之间，这样的五位数有多少个？

①两个偶数在之间是一个不能打破的小集团，在这个小集团之外。

②把当作一个小集团与３排列，有种排法。

③再排小集团内部。

有种排法；

也有种排法。

变式①、计划展出幅不同的画，其中幅水彩画，幅油画，幅国画，排成一行陈列。

要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为。

幅油画是一个小集团，内部有种排法；

幅国画也是一个小集团，内部有种排法；

两个小集团排列，有种排法；

将幅水彩画插入两个小集团排列后形成的一个空中，有种排法。

变式②、男生和女生站成一排照像，男生相邻且女生也相邻的排法有种。

男生是一个小集团，内部有种排法；

女生也是一个小集团，内部也有种排法；

两个小集团排列，有种排法。

十三、含约束条件问题合理分类与分步法

例、在一次演唱会上共名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要演出一个人唱歌人伴舞的节目，有多少种选派方法？

名演员中有人只会唱歌，人只会