排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)Word格式.doc
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第m步，排第m位：
有（n-m+1）种选法；
最后一步，排最后一位：
有1种选法。
根据分步乘法原理，得出上述公式。
二、组合数公式：
把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行：
第一步，取第一个：
有n种取法；
第二步，取第二个：
有（n-1）种取法；
第三步，取第三个：
有（n-2）种取法；
第m步，取第m个：
有（n-m+1）种取法；
最后一步，取最后一个：
有1种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m个，就有m!
种排排法，选n个就有n!
种排法。
故取m个的取法应当除以m!
取n个的取法应当除以n!
。
遂得出上述公式。
证明：
利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题分解为两个步骤：
第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题；
第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列。
根据乘法原理，即：
组合公式也适用于全组合的情况，即求
C（n,
n）的问题。
根据上述公式，
n）
=
n!
/n!
（n-n）!
/
0!
1。
这一结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当然只有1种方法。
三、重复组合数公式：
重复组合定义:
从n个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m次所得的组合。
重复组合数公式：
（m可小于、大于、等于n,n≥1）
可以把该过程看作是一个“放球模型”：
n个不同的元素看作是n个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m个相同的小球代表取m次；
则原问题可以简化为将m个不加区别的小球放进n个格子里面，问有多少种放法；
这相当 于m个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：
一共有（m+n-1）！
种排法，再由于m个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：
m！
*（n-1）！
于是答案就是：
四、不全相异的全排列
在不全相异的n个物体中，假设有n1个物体是相同的，n2个五题是相同的，……，nk个物体是相同的。
n个物体中不相同的物体种类数一共有k种。
那么，这些物体的全排列数是n!
/（n1!
n2!
…nk!
）。
可以想成：
n个物体直接全排列，排列完了以后，去重，第一种物体有n1!
种，第二种物体有n2!
种，以此类推。
例：
有3个红球，2个白球，把这五个球排成一行，问有多少种排法？
红球和红球没有区别，白球和白球没有区别。
答：
一共有10种，
aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abbaa,babaa,bbaaa。
五、排列恒等式的证明：
①
证明：
右边=
左边=右边
②
证明：
③
左边=右边
证明：
左边=右边
④
⑤
右边=左边
证明：
⑥
左边=（2-1）1！
+（3-1）2！
+（4-1）3!
+…（n+1-1）n!
=2!
-1!
+3!
-2!
+4!
-3!
…（n+1）!
-n!
=（n+1）!
-1！
=右边
六、组合恒等式的证明
互补性质：
取出有多少种，剩下就有多少种
根据分类计数原理:
要么含有新加元素要么不含新加元素
分类计数原理:
首先明弄清组合的两个性质公式：
①
证明：
右边=
③
右边=
=左边
⑤
根据组合性质，左边各式可写成：
左右两边相加即得：
⑥
证明：
用数学归纳法证明。
1）当n=1时，所以等式成立。
2）假设n=k时，（k≥1，k∈N*）时等式成立。
即：
当n=k+1时，
∴等式也成立
由1）、2）得，等式对n∈N*都成立。
也可用二项式定理证明（略）
⑦
用归纳法同上（略）
也可利用上述结论证明（略）
本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下：
设
由（1+1）n可得：
a+b=2n=2×
2n-1
由（1-1）n可得a-b=0
∴a=b=2n-1（不懂的去学学二项式定理）
⑧
由可得:
（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明）
左边
注：
同时利用了⑥的结论。
⑨
r≤min{m,n}
用二项式定理证明太麻烦了。
能偷懒就不要太勤快了。
观察左边的每一项，发现均是分别从m个不同素和n个不同元素中取r个元素的一个组合，其各项之和就是所有取法，即所有组合数。
其所有组合数当然等于右边。
⑩
还是用偷懒法：
根据第⑨的结论并结合组合的互补性质，若r=m=n即得些结论。
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