必修五第一章余弦定理文档格式.doc

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6．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于D，CD=2，AB=BC=3，则（　　）

A．BD=4，AC=3 B．BD=4，AC= C．BD=3，BD= D．BD=，AC=4

7．如图在△ABC中，D是AC边上的点且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD．则cosC的值（　　）

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2=c2+ac﹣bc，则=（　　）

9．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（　　）

10．如图，三角形ABC中，AB=1，，以C为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD，当∠ABC变化时，线段BD的长度最大值为（　　）

11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a2=3b2+3c2﹣2bcsinA，则C的值为（　　）

12．已知在△ABC中，b2+a2﹣c2＜0，且b＞a，sinA+cosA=，则tanA=（　　）

A．或 B． C． D．或

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足≥1，则角B的取值范围是（　　）

A．（0，] B．（0，] C．[） D．[）

14．在△ABC中，S为△ABC的面积，且，则tanB+tanC﹣2tanBtanC=（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

15．在△ABC中，若﹣sinAsinB＜sin2A+sin2B﹣sin2C＜﹣sinAsinB，则△ABC的形状是（　　）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定

16．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，且•=0，sin∠BAC=，AB=3，BD=，则cosC=（　　）

二．填空题（共4小题）

17．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，b=6，且，O为△ABC内一点，且满足，则=　　．

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S=b2sinA，角A的平分线AD交BC于D，，，则b=　　．

19．锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=a（a+c），则取值范围是　　．

20．在△ABC中，4a+2b+3c=，其中a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，则cosB=　　．

三．解答题（共6小题）

21．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．

（1）求线段AD的长；

（2）求△ADE的面积．

22．如图，在锐角△ABC中，，，BC=6，点D在边BC上，且BD=2DC，点E在边AC上，且BE⊥AC，BE交AD于点F．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）求cos∠DAC及AF的长．

23．△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2R（sin2B﹣sin2A）=（b﹣c）sinC，c=3．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若AD是BC边上的中线，，求△ABC的面积．

24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：

①△ABC的外心在三角形内部（不包括边）；

‚②（b2﹣a2﹣c2）sin（B+C）=．

（1）求A的大小；

（2）求代数式的取值范围．

25．△ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求sin（A+B）+sinAcosA+cos（A﹣B）的最大值；

（2）若，当△ABC的面积最大时，△ABC的周长；

26．四边形ABCD如图所示，已知AB=BC=CD=2，AD=2．

（1）求cosA﹣cosC的值；

（2）记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2，求S12+S22的最大值．

2018年05月07日必修五第一章余弦定理

参考答案与试题解析

【分析】由余弦定理化简条件得2ac•cosB•tanB=ac，再根据同角三角函数的基本关系得sinB=，从而求得角B的值．

【解答】解：

∵在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（a2+c2﹣b2）tanB=ac，

∴2ac•cosB•tanB=ac，∴sinB=，B=或B=，

故选：

D．

【点评】本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，以及根据三角函数值及角的范围求角的大小．

【分析】根据题意，由三角恒等变形公式分析：

2cos2﹣cos2C=1⇔2cos2C+cosC﹣1=0，解可得cosC的值，又由4sinB=3sinA以及a﹣b=1，计算可得a、b的值，由余弦定理计算可得答案．

根据题意，△ABC中，2cos2﹣cos2C=1，变形可得2cos2﹣1=cos2C，

则有cos2C+cosC=0，即2cos2C+cosC﹣1=0，

解可得cosC=或cosC=﹣1（舍），

又由4sinB=3sinA，则有4b=3a，

又由a﹣b=1，

则a=4，b=3，

则c2=a2+b2﹣2abcosC=16+9﹣12=13，

则c=，

A．

【点评】本题考查三角形中的几何计算，关键是求出cosC的值．

【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sinA=5sinAcosA，结合sinA＞0，可得：

cosA=，由余弦定理可得：

a=，利用二次函数的性质可求其最小值．

∵=acosA﹣ccosB+，且b=2，

∴=acosA﹣ccosB+，可得：

2cosC=5acosA﹣ccosB，即：

bcosC=5acosA﹣ccosB，

∴sinBcosC+sinCcosB=5sinAcosA，可得：

sin（B+C）=sinA=5sinAcosA，

∵A为三角形内角，sinA＞0，可得：

cosA=，

∴由余弦定理可得：

a===，

∴可得：

当c=时，a的最小值为．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

【分析】根据三角形的面积公式可得S=bcsinA=（b2+c2﹣a2），利用此关系式表示出sinA，根据余弦定理表示出cosA，发现两关系式相等，得到tanA，根据A的范围利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．

由已知得：

S=bcsinA=（b2+c2﹣a2）

可得：

sinA=，

由余弦定理可得：

所以tanA=1，

又A∈（0°

，180°

），

则A=45°

．

C．

【点评】此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道基础题．

【分析】设BD=x，可求AD=3x，AC=2﹣3x，BC=2﹣x，由cos∠ADC=﹣cos∠BDC，利用余弦定理可得x的值，进而可求AD，AC的值，由余弦定理可求cosA的值．

设BD=x，则AD=3x，AC=2﹣3x，BC=2﹣x，

易知：

cos∠ADC=﹣cos∠BDC，

=﹣，

解得：

x=，

故：

AD=1，AC=1，

∴cosA==0．

【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．

【分析】由题意利用切割线定理求得BD，利用余弦定理求得cosA的值，再利用直角三角形中的边角关系，求得AC的值．

由切割线定理可得CD2=DA•BD，又CD=2，AB=3，可求得BD=4．

在△BCD中，由余弦定理求得cos∠BCD==．

又∠BCD=∠A，∴cosA=，∴AC=2AB•cosA=，

B．

【点评】本题主要考查切割线定理、直角三角形中的边角关系，余弦定理的应用，属于中档题．

【分析】不妨设BD=2，则BC=4，AB=AD=3．在△ABD中，由余弦定理可得：

cosA=，可得sinA=．在△ABC中，由正弦定理可得：

=，即可得出．

不妨设BD=2，则BC=4，AB=AD=3．

在△ABD中，由余弦定理可得：

cosA==，

∵B∈（0，π），∴sinA==．

在△ABC中，由正弦定理可得：

=，

sinC==，C为锐角，∴cosC=．

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

【分析】由等比数列的性质可得b2=ac，由余弦定理可得cosA=，结合A∈（0，π），可得：

A=，由正弦定理可得sinB=，即可计算得解．

∵a，b，c成等比数列，

∴b2=ac，

∵a2=c2+ac﹣bc=c2+b2﹣bc，可得：

b2+c2﹣a2=bc，

cosA===，

∴由A∈（0，π），可得：

A=，

∴由正弦定理可得：

=，可得：

sinB=，

∴==．

【点评】本题主要考查了等比数列的性质，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

9．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是