广东省东莞市2013-2014学年高一上学期期末数学测试题有答案文档格式.doc
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A.B.C.D.
10.已知函数.若,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
第13题图
11.幂函数的图象过点,则.
12.已知函数是定义在上的奇函数,当时,
,则.
13.一个几何体的三视图如图所示,俯视图是边长为的
正方形,正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形,则此
几何体的侧棱长等于.
14.规定符号“”表示两个正实数、之间的运算,
即,已知,则函数
的值域是.
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分12分)
已知集合,,,全集为实数集.
(1)求;
(2)如果,且,求实数的取值范围.
16.(本小题满分13分)
设直线与直线交于点.
(1)当直线过点,且与直线时,求直线的方程;
(2)当直线过点,且坐标原点到直线的距离为时,求直线的方程.
17.(本小题满分13分)
某四星级酒店有客房300间,每天每间房费为200元,天天客满.该酒店欲提高档次升五星级,并提高房费.如果每天每间客的房费每增加20元,那么入住的客房间数就减少10间,若不考虑其他因素,酒店将房费提高到多少元时,每天客房的总收入最高?
18.(本小题满分14分)
如图所示,四棱锥的底面是直角梯形,底面,,,,为的中点,.
E
D
C
AB
P
第18题图
(1)证明:
平面;
(2)证明:
(3)求三棱锥的体积.
19.(本小题满分14分)
已知函数
(1)判断并证明函数的单调性;
(2)若函数为奇函数,求实数的值;
(3)在
(2)的条件下,若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
20.(本小题满分14分)
已知函数,(为正实数),且函数与的图象在轴上的截距相等.
(1)求的值;
(2)对于函数及其定义域,若存在,使成立,则称为的不动点.若在其定义域内存在不动点,求实数的取值范围;
(3)若为正整数,证明:
(参考数据:
,,,)
2011—2012学年度第一学期期末教学质量检查
高一数学(A卷)参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
二、填空题
11.12.13.14.
三、解答题
15.(本小题满分12分)
解:
(1)由,得,………………………2分
,即.………………………4分
∴.…………………………6分
(2),
∴.……………………………8分
又∵,
∴,…………………………10分
∴,
即实数的取值范围是.……………………………12分
解:
由,解得点.………………………2分
(1)因为⊥,所以直线的斜率,……………………………4分
又直线过点,故直线的方程为:
,即.…………………………6分
(2)因为直线过点,当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,即.…………………7分
所以坐标原点到直线的距离,解得,…………9分
因此直线的方程为:
,即.…………10分
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,验证可知符合题意.……12分
综上所述,所求直线的方程为或.………………13分
设酒店将房费提高到元,每天的客房的总收入为元.…………1分
则每天入住的客房间数为间,……………3分
由及,…………………4分
得:
.……………………5分
依题意知:
……………………8分
=
=.……………………10分
因为,所以当时,有最大值为80000元.………………12分
答:
酒店将房费提高到元时,每天客房的总收入最高.……………………13分
Q
(1)证明:
取中点,连结、.……………1分
为的中点,
且.………………2分
又且,
且.…………………3分
四边形是平行四边形,
.…………………………4分
又平面,平面,
平面.…………………………5分
底面,
.…………………………6分
又,且,
平面,
.…………………………7分
,为的中点,
,…………………………8分
平面.…………………………9分
,
平面.…………………………10分
(3)解法一
∵为的中点,
∴==.…………………………11分
∴点E到面BCD的距离.…………………………12分
.…………………………13分
∴.…………………………14分
解法二
由前面证明可知:
是三棱锥的高,.
在中,
,.………………11分
,…………………………12分
…………………………13分
.…………………………14分
(1)函数为R上的增函数.证明如下:
……………………………1分
证明:
函数的定义域为R,对任意,,设,则
…………………………2分
.…………………3分
因为是R上的增函数,且,所以<0,……………………4分
所以<0即,函数为R上的增函数.……………5分
(2)解:
∵函数为奇函数,
∴,…………………………6分
∴.…………………………7分
当时,=.
==-=-,…………8分
此时,为奇函数,满足题意.
所以,.…………………………9分
(3)解:
因为是奇函数,从而不等式对任意的恒成立等价于不等式对任意的恒成立.…………………………10分
又因为在上为增函数,
所以等价于不等式对任意的恒成立,
即不等式对任意的恒成立.…………………………11分
所以必须有,…………………………12分
即,…………………………13分
所以实数的取值范围.…………………………14分
⑴∵函数与的图象在轴上的截距相等,
∴,即.……………………………1分
又,
∴.……………………………2分
⑵由
(1)知,.
当时,若存在不动点,则有,即.………………………3分
∵,∴,此时.………………………4分
当时,若存在不动点,
则有,即……………………5分
∵,∴,此时.………………………6分
故要使得在其定义域内存在不动点,则实数的取值范围应为.…………………………………………………………7分
⑶设.
因为为正整数,
∴.………………………8分
∴.………………………9分
当时,,即,亦即,∴.………………………11分
由于为正整数,因此当时,单调递增;
当时,单调递减.
∴的最大值是.………………………12分
又,,
………………………13分
∴.………………………14分