平面向量常见题型突破Word下载.doc

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3.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,或其中R,则.

解析:

设b,a,则b-a,ba,=b-a.

代入条件得∴.

4.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则（）

A.+=0B.+=0C.+=0D.++=0

因为+=2,所以点P为线段AC的中点,所以应该选B.

6.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且0,那么（）

A.B.C.D.

∵且

∵0.0,即.

7.已知AD是△ABC的中线,R）,那么.

=+==-.

考向二：

平面向量基本定理的应用

【例1】►（2012·

南京质检）如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

解析　由B，H，C三点共线，可令＝x＋（1－x），又M是AH的中点，所以＝＝x＋（1－x），又＝λ＋μ.所以λ＋μ＝x＋（1－x）＝.答案　

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．

1.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________.

解析　以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，

令AB＝2，则＝（2,0），＝（0,2），过D作DF⊥AB交AB的延长线于F，由已知得DF＝BF＝，则＝（2＋，）．

∵＝x＋y，∴（2＋，）＝（2x,2y）．即有解得

另解：

＝＋＝＋，所以x＝1＋，y＝.

考向三　求两平面向量的数量积

例：

（2011·

合肥模拟）在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·

（＋）＝________.

如图，因M是BC的中点，故＋＝2，

又＝2，||＝1，

所以·

（＋）＝·

2＝－4||2＝－||2＝－，故填－.

当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．

1.如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则·

＝________.

解析　＝＋，故·

＝·

＋·

.而＝－，⊥.所以·

＝－CA2＝－8.

2.如图,在△ABC中,||=1,则等于（）

A.B.C.D.

=||||cos||cos|

|sin=||sinB=||||.

湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·

＝____.

　由题意画出图形如图所示，取一组基底{，}，

结合图形可得＝（＋），＝－＝－，

∴·

＝（＋）·

＝2－2－·

＝－－cos60°

＝－.答案－

1.（2011·

天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°

，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．

[尝试解析]　以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D（0,0），A（2,0），C（0，a），B（1，a），P（0，x），＝（2，－x），＝（1，a－x），∴＋3＝（5,3a－4x），|＋3|2＝25＋（3a－4x）2≥25，∴|＋3|的最小值为5.答案　5

考向四平面向量在平面几何中的应用

平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.B.C.D.

解析　∵cos∠BOA＝，则sin∠BOA＝，

∴S△OAB＝|a||b|＝.答案　C

平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：

利用|a|可以求线段的长度，利用cosθ＝（θ为a与b的夹角）可以求角，利用a·

b＝0可以证明垂直，利用a＝λb（b≠0）可以判定平行．

1.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·

c|的值一定等于（　　）．

A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为邻边的平行四边形的面积

C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为两边的三角形的面积

解析　∵|b·

c|＝|b||c||cosθ|，如图，

∵a⊥c，∴|b||cosθ|就是以a，b为邻边的平行四边形的高h，而|a|＝|c|，∴|b·

c|＝|a|（|b||cosθ|），∴|b·

c|表示以a，b为邻边的平行四边形的面积．　A

2..△ABC中，已知向量与满足·

＝0且·

＝，则△ABC为（　）．A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形

解析　由·

＝0知△ABC为等腰三角形，AB＝AC.由·

＝知，〈，〉＝60°

，所以△ABC为等边三角形，故选A.

3.平面上有四个互异点A、B、C、D，若（＋－2）·

（－）＝0，则△ABC的形状是（　　）．A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．无法确定

解析　由（＋－2）·

（－）＝0，得[（－）＋（－]·

（－）＝0，

所以（＋）·

（－）＝0.所以||2－||2＝0，∴||＝||，故△ABC是等腰三角形．

4.已知和点M满足，若存在实数使得成立，则=（）A．2B．3C．4D．5

由，知，所以+,即，解得；

5.已知为平面上四点，且，，则（　）

A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上

C．点A在线段BM上D．O、A、M、B四点共线

根据题意知,则，即.由判断出点Ｍ在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上；

6.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心

过作于点，取中点，由题意知==，

==,

即，又因=，得

所以的轨迹一定通过的重心.

7.如图，半圆的直径，为圆心，是圆弧上不同于

的任意一点，若为半径上的动点，

则的最小值是；

A

C

B

P

O

≥，

等号在，即为的中点时成立．

8.[2012·

江苏卷]如图在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·

＝，则·

的值是________．

[解析]本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F的位置．以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则＝（，0）．设＝（x,2），则由条件得x＝，得x＝1，

从而F（1,2），＝（，1），＝（1－，2），于是·

＝.

9.[2012·

湖南卷]如图在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·

[解析]本题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的掌握和向量相互转化能力；

具体的解题思路和过程：

把未知向量用已知向量来表示．

·

（＋2）＝2·

＝2·

＝2||·

||＝18.

[易错点]本题易错一：

找不到已知向量，无法把未知向量用已知向量表示；

易错二：

不会转化＝，把向量放到同一个直角三角形中；

易错三：

发现不了在向量上的射影等于||.

10.给出以下命题①非零向量满足，则

②，是的夹角为锐角的充要条件；

③将函数的图像向左平移1个单位，得到的图像对应的函数为；

④在中，若为等腰三角形；

其中正确的命题有（只填正确命题的序号）。

11.已知函数（Ⅰ）当时，求函数最小值和最大值；

（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且，

若向量与向量共线，求的值。

。

∵，∴，

∴，从而。

则的最小值是，最大值是。

（2），则，

∵，∴，∴，解得。

∵向量与向量共线，∴，

由正弦定理得，　　①

由余弦定理得，，即　　②

由①②解得。

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