导数的概念文档格式.doc

导数的概念文档格式.doc

《导数的概念文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的概念文档格式.doc（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

教学目的与要求

1.理解函数导数的概念及其几何意义.

2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.

3.了解导数与导函数的区别和联系.

4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.

教学重点与难点

1.函数导数的概念、基本初等函数的导数

2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数

一、引例

导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：

已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．

下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．

1．瞬时速度

思考：

已知一质点的运动规律为，为某一确定时刻，求质点在时刻的速度。

在中学里我们学过平均速度，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.

　不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”.设质点运

动的路程是时间的函数，则质点在到这段时间内的平均速度为

可以看出它是质点在时刻速度的一个近似值，越小，平均速度与时刻的瞬时速度越接近.故当时，平均速度就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在时刻的瞬时速度，即物体在时刻的瞬时速度为

（1）

按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？

因为自由落体运动的运动方程为：

，

按照上面的公式，可知自由落体运动在时刻的瞬时速度为

。

这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.

2．切线的斜率

圆的的切线的定义是什么？

这个定义适用于一般的切线吗？

引导学生得出答案：

与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.

（1）切线的概念

曲线C上一点M的切线的是指：

在M外另取C上的一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN绕点M转动而趋向极限位置MT，直线MT就叫做曲线C在点M处的切线。

简单说：

切线是割线的极限位置。

这里的极限位置的含义是：

只要弦长趋于0，也趋向于0.（如图所示）

（2）求切线的斜率

设曲线C为函数的图形，，则，点为曲线C上一动点，割线MN的斜率为：

根据切线的定义可知，当点N沿曲线C趋于M时，即，割线的斜率趋向于切线的斜率。

也就是说，如果时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为，即

（2）

3.边际成本

设某产品的成本C是产量x的函数，试确定产量为个单位时的边际成本。

用前两例类似的方法处理得：

表示由产量变到时的平均成本，如果极限

（3）

存在，则此极限就表示产量为个单位时成本的变化率或边际成本。

思考：

上述三个问题的结果有没有共同点？

上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如

（4）

的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.

二、导数的定义

1．导数的概念

定义设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处取得增量（点仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量，如果极限

存在，则这个极限叫做函数在点处的导数，记为

当函数在点处的导数存在时，就说函数在点处可导，否则就说在点处不可导.特别地，当时，，为了方便起见，有时就说在点处的导数为无穷大.

关于导数有几点说明：

（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有

（2）反映是自变量x从改变到时，函数的平均变化速度，称为函数的平均变化率；

而导数反映的是函数在点处的变化速度，称为函数在点处的变化率。

2．导函数的概念

上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数在开区间I的每一点都可导，就称函数在开区间I内可导，这时，，都对应的一个确定的导数值，就构成一个新的函数，这个函数叫做的导函数，记作：

即，导函数的定义式为：

或

在这两个式子中，可以取区间I的任意数，然而在极限过程中，是常量，或才是变量；

并且导数恰是导函数在点处的函数值.

3.单侧导数的概念

我们知道在极限有左、右极限之分，而导数实质是一个“比值”的极限。

因此，根据左右极限的定义，不难得出函数左右导数的概念。

定义极限和分别叫做函数在点处的左导数和右导数，记为和.

如同左、右极限与极限之间的关系，显然：

函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在并且相等.

还应说明：

如果在开区间内可导，且和都存在，就说在闭区间上可导.

三、按定义求导数举例

1．根据定义求函数的导数的步骤

根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为：

①求增量：

②算比值：

③求极限：

2．运用举例

例1求的导数（C为常数）.

解求增量

作比值

取极限

所以

即常量的导数等于零.

例2求函数的导数.

解，

即

注意：

以后会证明当指数为任意实数时，公式仍成立，即

例如：

例3求的导数.

解

.

用类似方法，可求得

例4求的导数.

解

所以

特别地，当时，有

四、导数的几何意义

由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知：

函数在点处的导数在几何上表示曲线在点M（）处的切线的斜率。

因此，曲线在点M（）处的切线方程为

曲线某一点处切线和法线有什么关系？

能否根据点M处切线的斜率求点M处的法线方程？

根据法线的定义：

过点M（）且垂直于曲线在该点处的切线的直线叫做曲线在点M（）处的法线.如果，根据解析几何的知识可知，切线与法线的斜率互为倒数，则可得点M处法线方程为：

例5求双曲线在点处的切线的斜率，并写出该点处的切线方程和法线方程.

解根据导数的几何意义知，所求的切线的斜率为：

所以切线的方程为

即.

法线的方程为

五、可导与连续的关系

定理函数在某点处可导，则一定在该点连续.

证明：

因为如果函数在点处可导，即

从而有

其中，，于是

因而，当时，有。

这说明函数在点处连续。

定理的逆命题成立吗？

例6讨论函数在处是否可导。

解因，

即在点处的左导数、右导数都存在但不相等，从而在处不可导。

通过例7可知，函数在原点（0,0）处虽然连续，但该点却不可导，所以函数在某点处可导，则一定连续，反之不一定成立.

本节小结

1.导数的表达式：

2.基本初等函数的导数：

3.可导与连续的关系：

函数在某点处可导，则一定在该点连续，反之不一定成立。

4.导数的几何意义：

函数某一点处的导数值，在几何表示为曲线在此点的切线的斜率。