基本不等式以多元最值为背景的填空题Word文档格式.doc

基本不等式以多元最值为背景的填空题Word文档格式.doc

《基本不等式以多元最值为背景的填空题Word文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基本不等式以多元最值为背景的填空题Word文档格式.doc（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

类型二放缩转换

若x，y，z均为正实数，且x2+y2+z2=1，则的最小值为　　　　. 

【解析】

当且仅当时取等号

【名师点睛】利用基本不等式消元是解题关键

【举一反三】已知A，B，C是平面上任意三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝＋的最小值是________．

【答案】－

类型三分离转换

已知正数x，y满足，那么y的最大值为　　　　.

【解析】

【名师点睛】运用分离变量法，将目标转化为求函数值域及解对应不等式

【举一反三】已知正实数a，b，c满足+=1，++=1，则实数c的取值范围是　　　　.

【解析】，因为，所以

类型四设参转换

若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为__________．

【解析】把2x2＋xy－y2＝1变为（x＋y）（2x－y）＝1，令2x－y＝t，x＋y＝，由此解得x＝，y＝，把x，y代入得：

原式＝＝＝，＋≥2或＋≤－2，所以原式的最大值为.

【名师点睛】引进参数不是增加元，而是巧妙消元

【举一反三】设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是__________．

【答案】4＋6[来源:

Z.xx.k.Com]

【解析】由－y2＝1，得＝1，假设－y＝m，＋y＝n，即mn＝1，则x＝m＋n，y＝.所以3x2－2xy＝4m2＋2n2＋6mn≥2＋6mn＝4＋6（当且仅当4m2＝2n2时取等号）．

类型五构造函数转换

若实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，则当x＋2y取得最大值时，的值为________．

【答案】2

【名师点睛】从式子结构出发寻找函数关系，关键熟练掌握代数关系.

【举一反三】已知ab＝，a，b∈（0，1），则＋的最小值为____________．

【答案】4＋

【解析】将b＝代入y＝＋＝＋，其中<

a<

1，求导得y′＝－＝0，则a＝－＋，代入y＝＋，得y的最小值为4＋

类型六利用判别式转换

若正实数x，y满足（2xy－1）2＝（5y＋2）（y－2），则x＋的最大值为__________．

【答案】－1

【解析】设x＋＝t，将2xy－1＝2yt－2代入已知等式，得（2ty－2）2＝（5y＋2）（y－2），去括号合并得（4t2－5）y2－8（t－1）y＋8＝0，由题意，此方程一定有解，则Δ＝－2t2－4t＋7≥0，得－－1≤t≤－1.∵x，y>

0，∴t>

0，经检验得x＋的最大值为－1.学科网

【名师点睛】本题是函数与方程思想的典型运用

【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式　2≥（m－2）·

＋m（·

）·

（·

）对任意实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是__________．

【答案】－1

类型七利用线性规划转换

已知x、y∈R，满足2≤y≤4－x，x≥1，则的最大值为____________．

【答案】

【解析】由题易知＝＝＋，令t＝，则由线性规划知t∈[，1]，从而t＋∈[2，]．

【名师点睛】线性规划是解决有关最值问题的一个有效的方法

【举一反三】已知正数a，b，c满足：

5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是__________．

【答案】[e,7]．

【解析】由5c－3a≤b≤4c－a及c＞0，得

，①

由clnb≥a＋clnc得：

≤lnb－lnc＝

∴②

记，，则.

则①为：

5－3x≤y≤4－x③[来源:

学_科_网]

②为：

y≥ex④

如图画出两个不等式所表示的平面区域

而表示可行域内的点P（x，y）与原点连线l的斜率．

由得，故

由图知当直线l过点A时取得最大值，最大值为.

设过原点与y＝ex相切的直线为y＝kx，切点为（x0，y0）

由y′＝ex知k＝ex0＝，∴x0＝1

∴切点坐标为（1，e），切线方程为y＝ex.

显然此时取得最小值，所以的取值范围为[e,7]．

【精选名校模拟】

1.已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为____________．

2.若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为__________．

【答案】4　

【解析】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，则的最小值为4.

3.已知正实数a，b满足9a2＋b2＝1，则的最大值为____________．

【解析】设3a＝cosθ，b＝sinθ，其中θ为锐角，＝，设t＝sinθ＋cosθ，θ为锐角，则1<

t≤，sinθcosθ＝，＝，而1<

t≤，则的最大值为，此时t＝.

4.已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最小值为____________．

【答案】25

【解析】由＋＝1，得x＋y＝xy,＋＝＋＝13＋＋＝13＋＝9x＋4y＝（9x＋4y）＝13＋＋≥13＋2＝25.学科网

5.已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为______________．

6.设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．

【解析】由x2＋2xy－1＝0，得y＝.故x2＋y2＝x2＋＝（5x2＋）－≥.

7.已知实数x、y满足x>

y>

0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________．

【解析】因为x>

0，且x＋y≤2，则2x＋2y≤4，＋＞0，所以4≥（2x＋2y）＝[（x＋3y）＋（x－y）]＝2＋＋＋1≥3＋2.

8.已知x，y为正实数，则＋的最大值为________．

【解析】设m＝4x＋y>

0，n＝x＋y>

0，则x＝，y＝，＋＝－≤－＝.

9.已知正实数x，y满足x＋＋3y＋＝10，则xy的取值范围为________．

10.已知函数f（x）＝3x＋a与函数g（x）＝3x＋2a在区间（b，c）上都有零点，则的最小值为________．

【答案】－1　

【解析】由题知

又＝

＝，

当a＞0时，b＜－，c＞－，

∴b＋＜－＜0，c＋＞＞0；

[来源:

学*科*网Z*X*X*K]

当a＜0时，b＜－，c＞－，

∴b＋＜＜0，c＋＞－＞0；

当a＝0时，b＋＜0，c＋＞0.

综上知，b＋＜0，c＋＞0.

设b＋＝x＜0，c＋＝y＞0，原式＝，

∵（x－y）2＝（|x|＋|y|）2＝x2＋y2＋2|xy|≥4|xy|，

∴－1≤＜0，即原式最小值为－1.

11.设实数a、b、c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为____________．[来源:

学§

科§

网]

【解析】由题知a＋b＋c≥a＋b＋a2＋b2，

∵≥，

∴a2＋b2≥，

从而a＋b＋c≥＋（a＋b）＝（a＋b＋1）2－≥－，“＝”当且仅当c＝a2＋b2，a＝b，a＋b＝－1即a＝b＝－，c＝时成立．

12.设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为____________．

【答案】2－2

8