圆锥曲线存在性问题Word格式.doc

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（1）求的值

（2）上是否存在点，使得当绕旋转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的的坐标和的方程，若不存在，说明理由

解：

（1）

则，依题意可得：

，当的斜率为时

解得：

椭圆方程为：

（2）设，

当斜率存在时，设

联立直线与椭圆方程：

消去可得：

，整理可得：

因为在椭圆上

当时，，

当时，，

当斜率不存在时，可知，，则不在椭圆上

综上所述：

，或，

例2：

过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，为其左焦点，已知的周长为8，椭圆的离心率为

（1）求椭圆的方程

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？

若存在，求出该圆的方程；

若不存在，请说明理由

（1）由的周长可得：

椭圆

（2）假设满足条件的圆为，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内

若直线斜率存在，设，

与圆相切

即

联立方程：

对任意的均成立

将代入可得：

存在符合条件的圆，其方程为：

当斜率不存在时，可知切线为

若，则

符合题意

若，同理可得也符合条件

综上所述，圆的方程为：

例3：

已知椭圆经过点，离心率为，左，右焦点分别为和

（2）设椭圆与轴负半轴交点为，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点（在之间），为中点，并设直线的斜率为

①证明：

为定值

②是否存在实数，使得？

如果存在，求直线的方程；

如果不存在，请说明理由

（1）依题意可知：

可得：

椭圆方程为：

，代入可得：

（2）①证明：

设，线段的中点

设直线的方程为：

，联立方程：

化为：

由解得：

且

②假设存在实数，使得，则

即

因为在椭圆上，所以，矛盾

所以不存在符合条件的直线

例4：

设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与以原点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切

（2）过点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？

若存在，求出的方程；

若不存在，说明理由

（1）与圆相切

将代入椭圆方程可得：

（2）由椭圆方程可得：

设直线，则

消去可得：

同理：

因为四边形的对角线互相平分

四边形为平行四边形

解得：

存在直线时，四边形的对角线互相平分

例5：

椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中

（1）求椭圆的离心率的取值范围

（2）设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是双曲线在第一象限上任意一点，当取得最小值时，试问是否存在常数，使得恒成立？

若存在，求出的值；

（1）设

由可得：

代入可得：

（2）当时，可得：

双曲线方程为，，设，

当轴时，

因为

所以，下面证明对任意点均使得成立

考虑

由双曲线方程，可得：

结论得证

时，恒成立

例6：

如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为

（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得对于任意直线，恒成立？

若存在，求出点的坐标；

（1）

椭圆方程为

由直线被椭圆截得的线段长为及椭圆的对称性可得：

点在椭圆上

（2）当与轴平行时，由对称性可得：

在的中垂线上，即位于轴上，设

当与轴垂直时，则

可解得或

不重合

下面判断能否对任意直线均成立

若直线的斜率存在，设，

联立方程可得：

由可想到角平分线公式，即只需证明平分

只需证明

①

因为在直线上，代入①可得：

成立

平分由角平分线公式可得：

例7：

椭圆的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点

（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：

在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？

若存在，求出这两个定点的坐标；

由椭圆可知：

为直径的圆经过

由在椭圆上，代入椭圆方程可得：

（2）假设存在轴上两定点，

设直线

所以依题意：

①

因为直线与椭圆相切，联立方程：

由直线与椭圆相切可知

化简可得：

，代入①可得：

，依题意可得：

无论为何值，等式均成立

所以存在两定点：

例8：

已知椭圆的左右焦点分别为，点是上任意一点，是坐标原点，，设点的轨迹为

（1）求点的轨迹的方程

（2）若点满足：

，其中是上的点，且直线的斜率之积等于，是否存在两定点，使得为定值？

若存在，求出定点的坐标；

（1）设点的坐标为，点的坐标为，则

由椭圆方程可得：

且

代入到可得：

（2）设点，

设直线的斜率分别为，由已知可得：

是上的点

即的轨迹方程为，由定义可知，到椭圆焦点的距离和为定值

为椭圆的焦点

所以存在定点

例9：

椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，与交于

（1）求椭圆及抛物线的方程

（2）是否存在常数，使得为常数？

（1）设的公共焦点为

（2）设直线，

与椭圆联立方程：

直线与抛物线联立方程：

是焦点弦

若为常数，则

例10：

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为

（2）是否存在点，使得为定值？

若存在，请求出点的坐标，并求出该定值；

（1）依题意可得：

当与轴垂直且为右焦点时，为通径

（2）思路：

本题若直接用用字母表示坐标并表示，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与的坐标。

因为要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出点及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得为定值。

（2）假设存在点，设

若直线与轴重合，则

若直线与轴垂直，则关于轴对称

设，其中，代入椭圆方程可得：

，可解得：

若存在点，则。

若，设

设，与椭圆联立方程可得：

，消去可得：

，同理：

所以为定值，定值为

若，同理可得为定值

存在点，使得为定值

三、历年好题精选

1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过点，离心率为，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是

（2）若在椭圆上的任一点处的切线方程是，求证：

直线恒过定点，并求出定点的坐标

（3）是否存在实数，使得恒成立？

（点为直线恒过的定点），若存在，求出的值；

2、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，是椭圆上的一点

（2）设分别是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率之积为，设与的面积分别为，请问：

是否存在常数，使得恒成立？

若存在，求出的值，若不存在，请说明理由

3、已知椭圆经过点，离心率为，左，右焦点分别为和

4、已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在上，且满足

（2）过点作直线，与曲线交于两点，是坐标原点，设，是否存在这样的直线，使得四边形的对角线相等（即）？

若存在，求出直线的方程；

若不存在，试说明理由

5、（2014，福建）已知双曲线的两条渐近线分别为，

（1）求双曲线的离心率

（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一、四象限），且的面积恒为8，试探究：

是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？

若存在，求出双曲线的方程；

若不存在请说明理由

习题答案：

1、解析：

椭圆过点

，再由可解得：

（2）设切点坐标为，直线上一点，依题意可得：

两条切线方程为：

，由切线均过可得：

均在直线上

因为两点唯一确定一条直线

，即过定点，即点的坐标为

（3）

，不妨设

，使得恒成立

2、解析：

（1）抛物线的焦点为

依题意可知：

（2）由

（1）可得：

，若直线斜率存在

设，

到直线的距离到直线的距离

（*）

，代入到（*）可得：

或

当时，，交点与重合，不符题意

，代入到可得：

，即

3、解：

4、解析：

（1）由可得为的中点，且

为的中垂线

点的轨迹是以为焦点的椭圆，其半长轴长为，半焦距

轨迹方程为：

（2）因为

四边形为平行四边形

若，则四边形为矩形，即

①若直线的斜率不存在，则

故不符合要求

②若直线的斜率存在，设

由

，解得：

所以存在或，使得四边形的对角线相等

5、解析：

（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为