圆锥曲线中的最值和范围问题方法Word下载.doc
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①
记A（x1,y1）,B（x2,y2），由题设可得点A、B的坐标（x1,y1）、（x2,y2）是方程组
②
的解.将①代入②并化简得（4+k2）x2+2kx-3=0，
所以
于是
设点P的坐标为（x,y）,则
消去参数k得4x2+y2-y=0③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0
解法二：
设点P的坐标为（x,y），因A（x1,y1）,B（x2,y2）在椭圆上，所以
④⑤
④—⑤得，
当时，有⑥
并且⑦将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0⑧
当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为
（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
（2）由点P的轨迹方程知所以
故当，取得最小值，最小值为
当时，取得最大值，最大值为
★★★高考要考什么
【考点透视】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：
利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：
把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：
①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；
（6）构造一个二次方程，利用判别式D³
0。
★★★突破重难点
【范例1】已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cosÐ
F1PF2的最小值为．
（１）求动点P的轨迹方程；
（２）若已知D（0,3），M、N在动点P的轨迹上且，求实数l的取值范围．
讲解 （１）由题意c2=5．设|PF1|+|PF2|=2a（），由余弦定理,得
．
又·
，
当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|·
|PF2|取最大值，
此时cosÐ
F1PF2取最小值，令，
解得a2=9，，∴b2=4，故所求P的轨迹方程为.
（２）设N（s,t），M（x,y），则由，可得（x，y-3）=l（s，t-3），
故x=ls，y=3+l（t-3）.
∵M、N在动点P的轨迹上，
且，
消去s可得，解得，
又|t|£
2，∴，解得，
故实数l的取值范围是．
【点晴】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：
判别式法、均值不等式法、有界性法等等．
【文】已知点M（-2，0），N（2,0），动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.
解：
（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
所求方程为：
（x>
0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，
此时A（x0，），B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，
代入双曲线方程中，得：
（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0
依题意可知方程1°
有两个不相等的正数根，设A（x1,y1）,B（x2,y2），则
解得|k|>
1，
又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）
＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>
2
综上可知的最小值为2
【范例2】给定点A（-2,2），已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。
解析：
因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。
故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义
于是为定值
其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为
所以，当取得最小值时，B点坐标为
【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，是一种简便而有效的好方法。
【文】点A（3，2）为定点，点F是抛物线y2=4x
的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|
取得最小值，求点P的坐标。
抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，
设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d。
要使|PA|+|PF|取得最小值，由图3可知过A点
的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2
代入y2=4x，得P（1，2）。
【范例3】已知P点在圆x2+（y-2）2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q（x，y），则|O1Q|2=x2+（y-4）2①
因Q在椭圆上,则x2=9（1-y2）②
将②代入①得|O1Q|2=9（1-y2）+（y-4）2
因为Q在椭圆上移动，所以-1£
y£
1，故当时，
此时
【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
【文】设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值。
解:
依题意可设P（0,1）,Q（x,y）,则|PQ|=,又因为Q在椭圆上,
所以x2=a2（1－y2）,|PQ|2=a2（1－y2）+y2－2y+1=（1－a2）y2－2y+1+a2
=（1－a2）（y－）2－+1+a2.
因为|y|≤1,a>
1,若a≥,则||≤1,当y=时,|PQ|取最大值;
若1<
a<
则当y=－1时,|PQ|取最大值2.
【范例4】已知△OFQ的面积为，
（1）设，求Ð
OFQ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），当取得最小值时，求此双曲线的方程。
（1）设Ð
OFQ=q
（2）设所求的双曲线方程为
∴，∴
又∵，∴
当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标是或
，所求方程为
【点晴】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：
一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。
【文】已知椭圆的一个焦点为F1（0,-2），对应的准线方程为，且离心率e满足：
成等差数列。
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；
若不存在，请说明理由。
（1）解：
依题意e，
∴a＝3，c＝2，b＝1，
又F1（0，－2），对应的准线方程为
∴椭圆中心在原点，所求方程为
（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分
∴直线l的斜率存在。
设直线l：
y＝kx＋m
由消去y，整理得（k2＋9）x2＋2kmx＋m2－9＝0
∵l与椭圆交于不同的两点M、N，
∴Δ＝4k2m2－4（k2＋9）（m2－9）＞0即m2－k2－9＜0 ①
设M（x1,y1）,N（x2,y2）②
把②代入①式中得
∴k＞或k＜－
∴直线l倾斜角
★★★自我提升
1．设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为F1（-c，0），则△F1AB的面积最大为（A）
A．bc B．ab C．ac D．b2
2．已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（C）
A．10 B．C． D．
3．已知双曲线，过其右焦点F的直线l交双曲线于AB，若|AB|=5，则直线l有（B）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为（C）
A．5 B．4 C． （D）
5．设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为____
.
6．抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________，1）
7．如图，已知A、B是椭圆的两个顶点，
C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD
面积的最大值是_______
8．如图3，抛物线y2=4x的一段与椭圆的一段围成封闭图形，点
图3
A
B
N
O
x
y
N（1，0）在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB//x轴，求△NAB
的周长l的取值范围。
易知N为抛物线y2=4x的焦点，又为椭圆的右焦点，
抛物线的准线l1：
x=-1，椭圆的右准线l2：
x=4，
过A作AC^l1于C，过B作BD^l2于D，
则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上。
由，得抛物线与椭圆的交点M的横坐标
而|BN|=e|BD|=|BD|,|AN|=|AC|
∴△NA
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