单元测试：选修2-1第三章3.1《空间向量及其运算》Word文件下载.doc

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7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满，则DBCD是 （）

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定

8．空间四边形OABC中，OB=OC，Ð

AOB=Ð

AOC=600，则cos= （ ）

A． B． C．- D．0

9．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积为 （）

A． B． C． D．

10．已知，则的最小值为 （）

二、填空题：

请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．若，，则为邻边的平行四边形的面积为．

12．已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基组表示向量，有=x，则x、y、z的值分别为．

13．已知点A（1，-2，11）、B（4，2，3），C（6，-1，4），则DABC的形状是．

14．已知向量，，若成1200的角，则k=．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．

15．（12分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在'

上，且，试求MN的长．

16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°

，∠DCB=30°

.

（1）求向量的坐标；

（2）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值

17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．

18．（12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

（1）求证：

PA⊥底面ABCD；

（2）求四棱锥P—ABCD的体积；

（3）对于向量={x1，y1，z1}，={x2，y2，z2}，={x3，y3，z3}，定义一种运算：

（×

）·

=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算（×

的绝对值的值；

说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×

的绝对值的几何意义.．

19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°

，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.

（1）求的长；

（2）求cos<

>

的值；

（3）求证：

A1B⊥C1M.

20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°

（1）证明：

C1C⊥BD；

（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（3）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？

请给出证明.

选修2-1第三章3.2《空间向量在立体几何中的应用》

说明：

本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；

答题时间120分钟．

1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）

A．60°

B．90°

C．105°

D．75°

2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（）

A． B．

3．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°

，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）

A． B．

4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（）

A． B． C． D．

A

A1

D

C

B

B1

C1

5．已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（）

A． B．

6．在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离 （）

A． B． C． D．

7．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 （）

A． B． C． D．

8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G．则与平面ABD所成角的余弦值 （）

A． B． C． D．

9．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小 （）

A． B．C． D．

10．正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，．则三棱锥的体积V （）

11．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离．

12．在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离．

13．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离．

14．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值．

15．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小

16．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：

平面A1EF∥平面B1MC．

17．（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°

，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°

角．

（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：

BE⊥PD；

（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．

18．（12分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．

E、F、D、B共面；

（2）求点A1到平面的BDEF的距离；

（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．

19．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：

（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；

（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；

（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．

20．（14分）如图5：

正方体ABCD-A1B1C1D1，过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．

平面EFG∥平面ACB1，并判断三角形类型；

（2）若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离．

参考答案

一、1．A；

解析：

=+（－）=－++．评述：

用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.

2．A；

空间的四点P、A、B、C共面只需满足且既可．只有选项A．

3．B；

只需将，运用向量的内即运算即可，．

4．C；

向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即．

5．C；

，计算结果为－1．

6．B；

显然．

7．B；

过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．

8．D；

建立一组基向量，再来处理的值．

9．D；

应用向量的运算，显然，从而得．

10．C；

二、

11．；

，得，可得结果．

12．；

13．直角三角形；

利用两点间距离公式得：

．

14．；

，得．

三、

15．解：

以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A'

（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）．

由于M为的中点，取中点O'

，所以M（，，），O'

（，，a）．因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，，a）．

根据空间两点距离公式，可得

16．解：

（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°

∠DCB=30°

，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·

sin30°

=.

OE=OB－BE=OB－BD·

cos60°

=1－.

∴D点坐标为（0，－），即向量OD[TX→]的坐标为{0，－}.

（2）依题意：

，

所以.

设向量和的夹角为θ，则

cosθ=.

17．证：

如图设，则分别为，，，，，，由条件EH=GH=MN得：

展开得

∴，∵≠，≠，

∴⊥（）即SA⊥BC．

同理可证SB⊥AC，SC⊥AB．

18．

（1）证明：

∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.

又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.

∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.

（2）解：

设与的夹角为θ，则

cosθ=

V=||·

||·

sinθ·

||=

（3）解：

|（×

|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.

猜测：

|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.

评述：

本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考