北师大版高中数学必修1-知识点总结Word格式.docx

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示意图

子集

（或

A中的任一元素都属于B

（1）AA

（2）

（3）若且，则

（4）若且，则

或

真子集

AB

（或BA）

，且B中至少有一元素不属于A

（1）（A为非空子集）

（2）若且，则

集合

相等

A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A

（1）AB

（2）BA

（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

交集

且

（1）

（3）

⑷Α⊆B⟺A∩B=A

并集

⑷A⊆B⟺A∪B=B

补集

∁uA

⑴（∁uA）∩A=∅,

⑵∁uA∪A=U,

⑶∁u∁uA=A,

⑷∁uA∩B=∁uA∪∁uB,

⑸∁u（A∪B）=（∁uA）∩（∁uB）

⑼集合的运算律：

交换律：

结合律:

分配律:

0-1律：

等幂律：

求补律：

A∩∁uA=∅A∪CuA=U∁uU=∅∁u∅=U

反演律：

∁u（A∩B）=（∁uA）∪（∁uB）∁u（A∪B）=（∁uA）∩（∁uB）

第二章函数

§

1函数的概念及其表示

一、映射

1．映射：

设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作.

2．象与原象：

如果f:

A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。

二、函数

1．定义：

设A、B是，f:

A→B是从A到B的一个映射，则映射f:

A→B叫做A到B的，记作.

2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有、、。

2函数的定义域和值域

一、定义域：

1．函数的定义域就是使函数式的集合.

2．常见的三种题型确定定义域：

①已知函数的解析式，就是.

②复合函数f[g（x）]的有关定义域，就要保证内函数g（x）的域是外函数f（x）的域.

③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.

二、值域：

1．函数y＝f（x）中，与自变量x的值的集合.

2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：

①观察法；

②配方法；

③反函数法；

④不等式法；

⑤单调性法；

⑥数形法；

⑦判别式法；

⑧有界性法；

⑨换元法（又分为法和法）

例如：

①形如y＝，可采用法；

②y＝，可采用法或法；

③y＝a[f（x）]2＋bf（x）＋c，可采用法；

④y＝x－，可采用法；

⑤y＝x－，可采用法；

⑥y＝可采用法等.

3函数的单调性

一、单调性

如果函数y＝f（x）对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、<

x2时，①都有，则称f（x）在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个；

②都有，则称f（x）在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个.

若函数f（x）在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f（x）称为.

2．判断单调性的方法：

（1）定义法，其步骤为：

①；

②；

③.

（2）导数法，若函数y＝f（x）在定义域内的某个区间上可导，①若，则f（x）在这个区间上是增函数；

②若，则f（x）在这个区间上是减函数.

二、单调性的有关结论

1．若f（x）,g（x）均为增（减）函数，则f（x）＋g（x）函数；

2．若f（x）为增（减）函数，则－f（x）为；

3．互为反函数的两个函数有的单调性；

4．复合函数y＝f[g（x）]是定义在M上的函数，若f（x）与g（x）的单调相同，则f[g（x）]为，若f（x）,g（x）的单调性相反，则f[g（x）]为.

5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性.

4函数的奇偶性

1．奇偶性：

①定义：

如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有，则称f（x）为奇函数；

若，则称f（x）为偶函数.如果函数f（x）不具有上述性质，则f（x）不具有.如果函数同时具有上述两条性质，则f（x）.

②简单性质：

1）图象的对称性质：

一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；

一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.

2）函数f（x）具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.

2．与函数周期有关的结论：

①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为；

②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期

第三章　指数函数和对数函数

1　正整数指数函数

2　指数扩充及其运算性质

1．正整数指数函数

函数y＝ax（a>

0，a≠1，x∈N＋）叫作________指数函数；

形如y＝kax（k∈R，a>

0，且a≠1）的函数称为________函数．

2．分数指数幂

（1）分数指数幂的定义：

给定正实数a，对于任意给定的整数m，n（m，n互素），存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝；

（2）正分数指数幂写成根式形式：

＝（a>

0）；

（3）规定正数的负分数指数幂的意义是：

＝__________________（a>

0，m、n∈N＋，且n>

1）；

（4）0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．

3．有理数指数幂的运算性质

（1）aman＝________（a>

（2）（am）n＝________（a>

（3）（ab）n＝________（a>

0，b>

0）．

3　指数函数

（一）

1．指数函数的概念

一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．

2．指数函数y＝ax（a>

0，且a≠1）的图像和性质

a>

1

0<

a<

图像

定义域

R

值域

（0，＋∞）

性

质

过定点

过点______，即x＝____时，y＝____

函数值

的变化

当x>

0时，______；

当x<

0时，________

0时，________；

单调性

是R上的________

4　对数

（二）

1．对数的运算性质

如果a>

0，且a≠1，M>

0，N>

0，则：

（1）loga（MN）＝________________；

（2）loga＝________；

（3）logaMn＝__________（n∈R）．

2．对数换底公式

logbN＝（a，b>

0，a，b≠1，N>

特别地：

logab·

logba＝____（a>

0，且a≠1，b>

0，且b≠1）．

5　对数函数

（一）

1．对数函数的定义：

一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；

y＝________为自然对数函数.

2．对数函数的图像与性质

定义

y＝logax（a>

0，且a≠1）

底数

______

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

共点性

图像过点______，即loga1＝0

特点

x∈（0,1）时，

y∈______；

x∈[1，＋∞）时，

y∈______.

对称性

函数y＝logax与y＝x的图像关于______对称

3.反函数

对数函数y＝logax（a>

0且a≠1）和指数函数____________________互为反函数．

第四章　函数应用

1　函数与方程

1.1　利用函数性质判定方程解的存在

2．函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，也就是函数y＝f（x）的图像与x轴的交点的横坐标．

3．方程f（x）＝0有实数根

⇔函数y＝f（x）的图像与x轴有________

⇔函数y＝f（x）有________．

4．函数零点的存在性的判定方法

如果函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f（a）·

f（b）____0，则在区间（a，b）内，函数y＝f（x）至少有一个零点，即相应的方程f（x）＝0在区间（a，b）内至少有一个实数解．

1.2　利用二分法求方程的近似解

1．二分法的概念

每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来_________________________________________________________________．

2．用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤（给定精确度ε）

（1）确定区间[a，b]，使____________．

（2）求区间（a，b）的中点，x1＝__________.

（3）计算f（x1）．

①若f（x1）＝0，则________________；

②若f（a）·

f（x1）<

0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x