北师大版高中数学必修1-知识点总结Word格式.docx
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示意图
子集
(或
A中的任一元素都属于B
(1)AA
(2)
(3)若且,则
(4)若且,则
或
真子集
AB
(或BA)
,且B中至少有一元素不属于A
(1)(A为非空子集)
(2)若且,则
集合
相等
A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA
(7)已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
(8)交集、并集、补集
交集
且
(1)
(3)
⑷Α⊆B⟺A∩B=A
并集
⑷A⊆B⟺A∪B=B
补集
∁uA
⑴(∁uA)∩A=∅,
⑵∁uA∪A=U,
⑶∁u∁uA=A,
⑷∁uA∩B=∁uA∪∁uB,
⑸∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)
⑼集合的运算律:
交换律:
结合律:
分配律:
0-1律:
等幂律:
求补律:
A∩∁uA=∅A∪CuA=U∁uU=∅∁u∅=U
反演律:
∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB)∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)
第二章函数
§
1函数的概念及其表示
一、映射
1.映射:
设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的元素,在集合B中都有元素和它对应,这样的对应叫做到的映射,记作.
2.象与原象:
如果f:
A→B是一个A到B的映射,那么和A中的元素a对应的叫做象,叫做原象。
二、函数
1.定义:
设A、B是,f:
A→B是从A到B的一个映射,则映射f:
A→B叫做A到B的,记作.
2.函数的三要素为、、,两个函数当且仅当分别相同时,二者才能称为同一函数。
3.函数的表示法有、、。
2函数的定义域和值域
一、定义域:
1.函数的定义域就是使函数式的集合.
2.常见的三种题型确定定义域:
①已知函数的解析式,就是.
②复合函数f[g(x)]的有关定义域,就要保证内函数g(x)的域是外函数f(x)的域.
③实际应用问题的定义域,就是要使得有意义的自变量的取值集合.
二、值域:
1.函数y=f(x)中,与自变量x的值的集合.
2.常见函数的值域求法,就是优先考虑,取决于,常用的方法有:
①观察法;
②配方法;
③反函数法;
④不等式法;
⑤单调性法;
⑥数形法;
⑦判别式法;
⑧有界性法;
⑨换元法(又分为法和法)
例如:
①形如y=,可采用法;
②y=,可采用法或法;
③y=a[f(x)]2+bf(x)+c,可采用法;
④y=x-,可采用法;
⑤y=x-,可采用法;
⑥y=可采用法等.
3函数的单调性
一、单调性
如果函数y=f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2,当x1、<
x2时,①都有,则称f(x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个;
②都有,则称f(x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个.
若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为.
2.判断单调性的方法:
(1)定义法,其步骤为:
①;
②;
③.
(2)导数法,若函数y=f(x)在定义域内的某个区间上可导,①若,则f(x)在这个区间上是增函数;
②若,则f(x)在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论
1.若f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)函数;
2.若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为;
3.互为反函数的两个函数有的单调性;
4.复合函数y=f[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调相同,则f[g(x)]为,若f(x),g(x)的单调性相反,则f[g(x)]为.
5.奇函数在其对称区间上的单调性,偶函数在其对称区间上的单调性.
4函数的奇偶性
1.奇偶性:
①定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有,则称f(x)为奇函数;
若,则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x).
②简单性质:
1)图象的对称性质:
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称;
一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.
2)函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.
2.与函数周期有关的结论:
①已知条件中如果出现、或(、均为非零常数,),都可以得出的周期为;
②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称,均可以得到周期
第三章 指数函数和对数函数
1 正整数指数函数
2 指数扩充及其运算性质
1.正整数指数函数
函数y=ax(a>
0,a≠1,x∈N+)叫作________指数函数;
形如y=kax(k∈R,a>
0,且a≠1)的函数称为________函数.
2.分数指数幂
(1)分数指数幂的定义:
给定正实数a,对于任意给定的整数m,n(m,n互素),存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们把b叫作a的次幂,记作b=;
(2)正分数指数幂写成根式形式:
=(a>
0);
(3)规定正数的负分数指数幂的意义是:
=__________________(a>
0,m、n∈N+,且n>
1);
(4)0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂__________.
3.有理数指数幂的运算性质
(1)aman=________(a>
(2)(am)n=________(a>
(3)(ab)n=________(a>
0,b>
0).
3 指数函数
(一)
1.指数函数的概念
一般地,________________叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是____.
2.指数函数y=ax(a>
0,且a≠1)的图像和性质
a>
1
0<
a<
图像
定义域
R
值域
(0,+∞)
性
质
过定点
过点______,即x=____时,y=____
函数值
的变化
当x>
0时,______;
当x<
0时,________
0时,________;
单调性
是R上的________
4 对数
(二)
1.对数的运算性质
如果a>
0,且a≠1,M>
0,N>
0,则:
(1)loga(MN)=________________;
(2)loga=________;
(3)logaMn=__________(n∈R).
2.对数换底公式
logbN=(a,b>
0,a,b≠1,N>
特别地:
logab·
logba=____(a>
0,且a≠1,b>
0,且b≠1).
5 对数函数
(一)
1.对数函数的定义:
一般地,我们把______________________________叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是________.________为常用对数函数;
y=________为自然对数函数.
2.对数函数的图像与性质
定义
y=logax(a>
0,且a≠1)
底数
______
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
共点性
图像过点______,即loga1=0
特点
x∈(0,1)时,
y∈______;
x∈[1,+∞)时,
y∈______.
对称性
函数y=logax与y=x的图像关于______对称
3.反函数
对数函数y=logax(a>
0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数.
第四章 函数应用
1 函数与方程
1.1 利用函数性质判定方程解的存在
2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.
3.方程f(x)=0有实数根
⇔函数y=f(x)的图像与x轴有________
⇔函数y=f(x)有________.
4.函数零点的存在性的判定方法
如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·
f(b)____0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
1.2 利用二分法求方程的近似解
1.二分法的概念
每次取区间的中点,将区间__________,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来_________________________________________________________________.
2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)
(1)确定区间[a,b],使____________.
(2)求区间(a,b)的中点,x1=__________.
(3)计算f(x1).
①若f(x1)=0,则________________;
②若f(a)·
f(x1)<
0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x