北京市海淀区2017年高三一模数学(理科)试卷及答案Word文档格式.docx

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北京市海淀区2017年高三一模数学(理科)试卷及答案Word文档格式.docx

8.某折叠餐桌的使用步骤如图所示.有如下检查项目:

项目①:

折叠状态下(如图1),检查四条桌腿长相等;

项目②:

打开过程中(如图2),检查;

项目③:

项目④:

打开后(如图3),检查;

项目⑤:

打开后(如图3),检查.

下列检查项目的组合中,可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是

A.①②③B.②③④C.②④⑤D.③④⑤

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

9.若等比数列满足,,则公比;

前项和___.

10.已知,满足的动点的轨迹方程为____.

11.在D中,.①_____;

②若,则____.

12.若非零向量满足,,则向量夹角的大小为___.

13.已知函数若关于的方程在内有唯一实根,则实数的最小值是_____.

14.已知实数满足,则的最大值是______.

三、解答题共6小题,共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15.(本小题满分13分)

已知是函数的一个零点.

(Ⅰ)求实数的值;

(Ⅱ)求单调递增区间.

16.(本小题满分13分)

据报道,巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠8-10万吨邮轮的深水港.通过这一港口,中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区.这相当于给中国平添了一条大动脉!

在打造中巴经济走廊协议(简称协议)中,能源投资约340亿美元,公路投资约59亿美元,铁路投资约38亿美元,高架铁路投资约16亿美元,瓜达尔港投资约6.6亿美元,光纤通讯投资约0.4亿美元.

有消息称,瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.下表记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量(单位:

百万吨):

1月

2月

3月

4月

5月

6月

7月

8月

9月

10月

11月

12月

天津

24

22

26

23

27

25

28

上海

32

33

31

30

(Ⅰ)根据协议提供信息,用数据说明本次协议投资重点;

(Ⅱ)从上表中12个月任选一个月,求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率;

(Ⅲ)将(Ⅱ)中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率,设为瓜达尔港未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数,写出的数学期望(不需要计算过程).

17.(本小题满分14分)

如图,由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中,∠BAC=90°

,,,,平面平面.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若为中点,求证:

平面;

(Ⅲ)在线段BC上(含端点)是否存在点P,使直线DP与平面所成的角为?

若存在,求的值,若不存在,说明理由.

18.(本小题满分13分)

已知函数,其中实数.

(Ⅰ)判断是否为函数的极值点,并说明理由;

(Ⅱ)若在区间上恒成立,求的取值范围.

19.(本小题满分14分)

已知椭圆G:

,与轴不重合的直线l经过左焦点,且与椭圆G相交于A,B两点,弦AB的中点为M,直线OM与椭圆G相交于C,D两点.

(Ⅰ)若直线的斜率为1,求直线的斜率;

(Ⅱ)是否存在直线l,使得成立?

若存在,求出直线l的方程;

若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分13分)

已知含有个元素的正整数集具有性质:

对任意不大于(其中)的正整数存在数集的一个子集,使得该子集所有元素的和等于.

(Ⅰ)写出的值;

(Ⅱ)证明:

“成等差数列”的充要条件是“”;

(Ⅲ)若,求当取最小值时,的最大值.

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数学(理科)2017.4

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

D

B

C

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题,第一空3分,第二空2分,

共30分)

9.2,

10.

11.

12.

13.

14.

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

解:

(Ⅰ)由题意可知,即

即,

解得.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得

函数的增区间为.

由,,

得,,

所以,的单调递增区间为,.

(Ⅰ)本次协议的投资重点为能源,

因为能源投资340亿,占总投资460亿的50%以上,所占比重大,

(Ⅱ)设事件A:

从12个月中任选一个月,该月超过55百万吨.---------------------------1分

根据上面提供的数据信息,可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是:

56,49,59,54,54,57,59,58,58,56,55,56,

其中超过55百万吨的月份有8个,

所以,;

(Ⅲ)X的数学期望.

{说明:

本题下面过程中的标灰部分不写不扣分}

(Ⅰ)在直三棱柱中,平面,

故ACCC1,

由平面CC1D平面ACC1A1且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1,

所以AC平面CC1D,

又DC1⊂平面CC1D,

所以ACDC1.

(Ⅱ)在直三棱柱中,平面,

所以,,

又∠BAC=90°

所以,如图建立空间直角坐标系,

依据已知条件可得,,,,,,

设平面的法向量为,

由即-

令,则,,于是,

因为为中点,所以,所以,

由可得,

所以与平面所成角为,又平面,

所以平面.

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知平面的法向量为.

设,,

则,.

若直线与平面成角为,则

解得,

故不存在这样的点.

{说明1:

如果学生如右图建系,关键量的坐标如下:

(Ⅱ),,

由即

,所以,

则,.}

{说明2:

{说明3:

法1:

(Ⅰ)由可得

函数定义域为,

由得.

因为,所以.

当时,,所以的变化如下表:

极小值

当时,,

的变化如下表:

极大值

综上,是函数的极值点,且为极小值点.

(Ⅱ)易知,

由(Ⅰ)可知,

当时,函数在区间上单调递减,

所以有恒成立;

当时,函数在区间上单调递增,

所以,所以不等式不能恒成立;

所以时有在区间上恒成立.

法2:

令,经验证,

因为,所以的判别式,

写明也可以}

由二次函数性质可得,1是的异号零点,

所以1是的异号零点,

所以是函数的极值点.

(Ⅱ)易知,

因为,

又因为,所以,

所以当时,在区间上,所以函数单调递减,

当时,在区间上,所以函数单调递增,

所以时有在区间上恒成立.

(Ⅰ)由已知可知,又直线的斜率为1,所以直线的方程为

设A(),B(),

由解得,,

所以AB中点M,

于是直线的斜率为.

(Ⅱ)解法1:

假设存在直线l,使得成立.

当直线l的斜率不存在时,AB的中点,

所以,,矛盾;

故可设直线l的方程为:

,联立椭圆G的方程,

得:

设A(),B(),则,,

于是,,

点M的坐标为(),

==.

直线CD的方程为:

,联立椭圆G的方程,得:

设C(x0,y0),则,

由题知,,

即:

化简,得:

,故,

所以直线l的方程为:

(II)解法2:

假设存在直线使得成立

由题意直线的斜率不与轴重合,设直线的方程为,

由得,

设,则,

所以中点的坐标为,

所以直线的方程为:

由对称性,设,则,即

由,得,

即,

解得,故,

.

(Ⅰ).

(Ⅱ)先证必要性

因为,又成等差数列,故,所以;

再证充分性

因为,为正整数数列,故有

所以,

又,故,故为等差数列.

(Ⅲ)先证明.

假设存在,且为最小的正整数.

依题意,则

,又因为,

故当时,不能等于集合的任何一个子集所有元素的和.

故假设不成立,即成立.

因此,

即,所以.

因为,则,

若时,则当时,集合中不可能存在若干不同元素的和为,

故,即.

此时可构造集合.

因为当时,可以等于集合中若干个元素的和,

故当时,可以等于集合中若干不同元素的和,

……

所以集合满足题设,

所以当取最小值11时,的最大值为1009.

高三理科13/13

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