北京市海淀区2017年高三一模数学(理科)试卷及答案Word文档格式.docx
《北京市海淀区2017年高三一模数学(理科)试卷及答案Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市海淀区2017年高三一模数学(理科)试卷及答案Word文档格式.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
8.某折叠餐桌的使用步骤如图所示.有如下检查项目：
项目①：
折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；
项目②：
打开过程中（如图2），检查；
项目③：
项目④：
打开后（如图3），检查；
项目⑤：
打开后（如图3），检查.
下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是
A.①②③B.②③④C.②④⑤D.③④⑤
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.若等比数列满足，，则公比；
前项和___．
10.已知，满足的动点的轨迹方程为____.
11.在D中，.①_____；
②若，则____.
12.若非零向量满足，，则向量夹角的大小为___.
13.已知函数若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是_____.
14.已知实数满足，则的最大值是______.
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）
已知是函数的一个零点.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求单调递增区间.
16.（本小题满分13分）
据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠8-10万吨邮轮的深水港.通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区.这相当于给中国平添了一条大动脉！
在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约0.4亿美元.
有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.下表记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：
百万吨）：
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
天津
24
22
26
23
27
25
28
上海
32
33
31
30
（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；
（Ⅱ）从上表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；
（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设为瓜达尔港未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出的数学期望（不需要计算过程）.
17.（本小题满分14分）
如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，∠BAC=90°
，，，，平面平面.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若为中点，求证：
平面；
（Ⅲ）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为？
若存在，求的值，若不存在，说明理由.
18.（本小题满分13分）
已知函数，其中实数.
（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆G:
，与轴不重合的直线l经过左焦点，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．
（Ⅰ）若直线的斜率为1，求直线的斜率；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得成立？
若存在，求出直线l的方程；
若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分13分）
已知含有个元素的正整数集具有性质：
对任意不大于（其中）的正整数存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于.
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）证明：
“成等差数列”的充要条件是“”；
（Ⅲ）若，求当取最小值时，的最大值.
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学（理科）2017.4
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
共30分）
9．2，
10．
11.
12.
13．
14．
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
解：
（Ⅰ）由题意可知，即
即，
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
函数的增区间为.
由，，
得，，
所以，的单调递增区间为，.
（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，
因为能源投资340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大，
（Ⅱ）设事件A：
从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨.---------------------------1分
根据上面提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：
56，49，59，54，54，57，59，58，58，56，55，56，
其中超过55百万吨的月份有8个，
所以，；
（Ⅲ）X的数学期望.
{说明：
本题下面过程中的标灰部分不写不扣分}
（Ⅰ）在直三棱柱中，平面，
故ACCC1，
由平面CC1D平面ACC1A1且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，
所以AC平面CC1D，
又DC1⊂平面CC1D，
所以ACDC1.
（Ⅱ）在直三棱柱中，平面，
所以，，
又∠BAC=90°
，
所以，如图建立空间直角坐标系，
依据已知条件可得，，，，，，
设平面的法向量为，
由即-
令，则，，于是，
因为为中点，所以，所以，
由可得，
所以与平面所成角为，又平面，
所以平面.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的法向量为．
设，，
则，.
若直线与平面成角为，则
，
解得，
故不存在这样的点．
{说明1：
如果学生如右图建系，关键量的坐标如下：
（Ⅱ），，
由即
，所以，
则，.}
{说明2：
{说明3：
法1：
（Ⅰ）由可得
函数定义域为，
由得.
因为，所以.
当时，，所以的变化如下表：
↘
极小值
↗
当时，，
的变化如下表：
极大值
综上，是函数的极值点，且为极小值点.
（Ⅱ）易知，
由（Ⅰ）可知，
当时，函数在区间上单调递减，
所以有恒成立；
当时，函数在区间上单调递增，
所以，所以不等式不能恒成立；
所以时有在区间上恒成立.
法2：
令，经验证，
因为，所以的判别式，
写明也可以}
由二次函数性质可得，1是的异号零点，
所以1是的异号零点，
所以是函数的极值点.
（Ⅱ）易知，
因为，
又因为，所以，
所以当时，在区间上，所以函数单调递减，
当时，在区间上，所以函数单调递增，
所以时有在区间上恒成立.
（Ⅰ）由已知可知，又直线的斜率为1，所以直线的方程为
设A（），B（），
由解得，，
所以AB中点M，
于是直线的斜率为．
（Ⅱ）解法1：
假设存在直线l，使得成立．
当直线l的斜率不存在时，AB的中点，
所以，，矛盾；
故可设直线l的方程为：
，联立椭圆G的方程，
得：
设A（），B（），则，，
于是，，
点M的坐标为（）,
==．
直线CD的方程为：
，联立椭圆G的方程，得：
设C（x0，y0），则，
由题知，，
即：
化简，得：
，故，
所以直线l的方程为：
．
（II）解法2：
假设存在直线使得成立
由题意直线的斜率不与轴重合，设直线的方程为，
由得，
设，则，
所以中点的坐标为，
所以直线的方程为：
由对称性，设，则，即
由，得，
即，
解得，故，
.
（Ⅰ）.
（Ⅱ）先证必要性
因为，又成等差数列，故，所以；
再证充分性
因为，为正整数数列，故有
所以,
又，故，故为等差数列.
（Ⅲ）先证明.
假设存在，且为最小的正整数.
依题意,则
，又因为,
故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和.
故假设不成立，即成立.
因此,
即，所以.
因为，则，
若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，
故，即.
此时可构造集合.
因为当时，可以等于集合中若干个元素的和，
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，
……
所以集合满足题设，
所以当取最小值11时，的最大值为1009.
高三理科13/13
升级会员 