北京市东城高三一模理科数学试题文档格式.doc

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A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.某次数学测试共有道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”，已知这次测试共有个“学习能手”，则难题的个数最多为

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：

本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.在中,角所对的边分别为，若,则

____________.

10.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为_____.

11.若满足，则的最大值为_____.

12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.

13.设平面向量为非零向量，能够说明若“，则”是假命题的一组向量的坐标依次为______.

14.单位圆的内接正（）边形的面积记为，则________；

下面是关于的描述：

①；

②的最大值为；

③；

④.

其中正确结论的序号为________（注：

请写出所有正确结论的序号）

三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.

15.（本题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期;

（Ⅱ）求在上的最大值和最小值.

16.（本小题满分13分）

从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示.

（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;

（Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数为，求的分布列和数学期望;

（Ⅲ）试判断这100名学生数学成绩的方差与语文成绩的方差的大小.（只需写出结论）

17.（本小题14分）

如图1，在边长为2的正方形中，为中点，分别

将沿所在直线折叠，使点与点重合

于点,如图2.在三棱锥中，为中点.

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的大小.

18．（本小题13分）

已知椭圆的离心率为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，是椭圆上不同于点的两点，且直线，的斜率之积等于，试问直线是否过定点？

若是，求出该点的坐标；

若不是，请说明理由．

19. （本小题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）若曲线在处的切线斜率为，求的值;

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围

（Ⅲ）求证：

当时，曲线总在曲线的上方.

20.（本小题13分）

在个实数组成的行列的表中，表示第行第列的数，

记,.

若，且两两不等，则称此表为

“阶表”，记.

（Ⅰ）请写出一个“阶表”；

（Ⅱ）对任意一个“阶表”，若整数，且，

求证：

为偶数；

不存在“阶表”.

1.【答案】

【解析】由题易知，故选

2.【答案】

【解析】,所以在复平面上对应的点为，在第二象限,故选

3.【答案】

【解析】由在上单调递增可知,

故选

4.【答案】

【解析】由正切函数定义可知:

，，

5.【答案】

【解析】在抛物线中,焦点准线点到轴的距离为即故选

6.【答案】C

【解析】法一：

种

法二：

种.故选C

7.【答案】D

【解析】充分条件的反例，当，时，，，充分不成立.

必要条件的反例，例，，，必要不成立.

故选D.

8.【答案】D

【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错道题，位“学习能手”则最多做错道题.而至少有个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，所以难题最多道.故选D.

9.【答案】

【解析】,

10.【答案】

【解析】即求圆心到直线的距离，

的圆心为.距离为.

11.【答案】

【解析】可行域如右图所示：

设即，当过时，取最大值，所以.

12.【答案】

【解析】

该几何体如图所示：

可知,为等边三角形,

所以,所以四边形的面积为

所以.

13.【答案】，，（答案不唯一）

设，，,则，，所以但，所以若，则为假命题。

14.【答案】；

①③④

【解析】内接正边形可拆解为个等腰三角形，腰长为单位长度，顶角为.每个三角形的面积为，所以正边形面积为

.，①正确；

正边形面积无法等于圆的面积，所以②不对；

随着的值增大，正边形面积也越来越大，所以③正确；

当且仅当时，有，由几何图形可知其他情况下都有，所以④正确.

四、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.

17.【解析】

（Ⅰ）由题意得：

（Ⅱ）当时，

当时,即时,取得最大值.

当时,即时,取得最小值.

所以在上的最大值和最小值分别是和.

18.【解析】

（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为.

（Ⅱ）由题可知,的可能取值为0,1,2

1

2

（Ⅲ）

17.【解析】

（Ⅰ）由图1知

由图2知重合于点.则

面面

面,又面

（Ⅱ）由题知为等边三角形

过取延长作建立如图空间直角坐标系

则

易知面的法向量为

设与平面夹角为

直线与平面所成角正弦值为

（Ⅲ）由（Ⅱ）知面的法向量为

设面法向量为

易知为中点，，

即

令则

由图知二面角为锐角，二面角为

18．【解析】

（Ⅰ），，

过，，，

，

（Ⅱ）①当斜率不存在时，设，则，

，，

又在椭圆上，

解得，，

．

②当斜率存在时，设，与椭圆联立，由得，

，即，

设，，

则，，

或，

当时，，

恒过不符合①，

结合①，恒过，

综上，直线恒过．

19. 【解析】

（Ⅰ），由题可得，即，故

（Ⅱ）

①当时，恒成立，符合题意。

②当时，恒成立，则在上单调递增，当时，，不符合题意，舍去；

③当时，令，解得

当变化时，和变化情况如下

极小值

，由题意可，即，

解得。

综上所述，的取值范围为

（Ⅲ）由题可知要证的图像总在曲线上方，即证恒成立，即要证明恒成立，构造函数

，令，故，则在单调递增，则单调递增.因为，，由零点存在性定理可知，在存在唯一零点，设该零点为，

令，即，且

则，因为，所以，所以，当且仅当时取等，因为，故，即恒成立，曲线总在曲线的上方.

20.【解析】

-1

（Ⅰ）

（Ⅱ）若共个数,，共个数，

所以为偶数.

（Ⅲ）设整数，且，可取.

当时，设.

此时，不能同时取到，所以无解.

当时,设,则，

，，由题

所以设，当时，.所以无解.

时，中至少三组数据分别为，

与矛盾，不成立.

同理当时,无解，所以不存在“阶表”.