全国高中数学联赛分类解析-2006-2010立体几何Word文档格式.doc

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又，，从而有。

（06）10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3.

10.【解】设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，分别为四个球心在底面的射影。

则ABCD是一个边长为的正方形。

所以注水高为。

故应注水＝。

（07）1.如图，在正四棱锥P−ABCD中，∠APC=60°

，则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为（B）

A. B. C. D.

解：

如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。

连结CM、AC，则∠AMC为二面角A−PB−C的平面角。

不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。

在△AMC中，由余弦定理得。

（07）9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。

如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：

一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；

另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。

在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则。

同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条。

在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为。

这样的弧也有三条。

于是，所得的曲线长为。

（08）4．若三个棱长均为整数（单位：

cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（A）

A.764cm3或586cm3B.764cm3　

C.586cm3或564cm3D.586cm3

[解]设这三个正方体的棱长分别为，则有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．

若，则，易知，，得一组解．

若，则，．但，，从而或5．若，则无解，若，则无解．此时无解．

若，则，有唯一解，．

若，则，此时，．故，但，故，此时无解．

综上，共有两组解或

体积为cm3或cm3．

（08）12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．

[解]如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．

因

答12图1

，

故，从而．

记此时小球与面的切点为，连接，则

．

考虑小球与正四面体的一个面（不妨取为）相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体

的棱长为，过作于．

答12图2

因，有，故小三角形的边长．

小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）

．　　　　　　　　　

又，，所以

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．

1.（10）正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则.

解一：

如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，

.

设分别与平面、平面垂直的向量是、，则

由此可设，

所以，

即.

所以.

解二：

如图，.

设与交于点则

.

从而平面.

过在平面上作,垂足为.

连结,则为二面角的平面角.

设,则易求得

在直角中，,

即.

又.