全国优秀案例任意角的三角函数教学设计案例)Word格式文档下载.doc

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五、教学过程设计

（一）教学基本流程

复习锐角三角函数的定义

认识任意角三角函数的定义

进一步理解任意角三角函数的概念

小结

（二）教学情景

1．复习锐角三角函数的定义

问题1：

在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

P

M

O

图1

设计意图：

帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．

师生活动：

教师提出问题，学生回答．

2．认识任意角三角函数的定义

问题2：

在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？

引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．

在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：

（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？

以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．

如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义，那么可以进一步提出下列问题来启发学生进行思考：

（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论：

（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角α的三角函数呢？

α

y

x

图2

如果学生仍用直角三角形边长的比值来定义，则可以作下列引导：

（4）终边是OP的角一定是锐角吗？

如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？

如图3，如果角α的终边不在第I象限又该怎么办？

图3

（5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，比如把点用坐标表示，把线段的长用坐标算出来．我们还是回到锐角三角函数的问题上，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的三条边长呢？

渗透数形结合的思想．

（6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？

问题3：

大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？

为引入单位圆进行铺垫．

教师提出问题后，可组织学生展开讨论．在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问题：

（1）我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？

所用的圆与半径大小有关吗？

用半径多大的圆定义起来更简单易懂些？

（2）对于一个三角函数，比如y＝sinα，它的函数值是由什么决定的？

那么当一个角的终边位置确定以后，能不能取终边上任意一点来定义三角函数？

取哪一点可以使得我们的定义式变得简单些？

怎样取？

加强与几何的联系．

问题4：

大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？

引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．

由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．

问题5：

根据任意角三角函数的定义，要求角α的三个三角函数值其实就是分别是求什么？

让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质．

在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值．

例1：

已知角α的终边经过点P（，－），求角α的正弦、余弦和正切值．

从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．

在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识：

变式1：

求的正弦、余弦和正切值．

变式2：

已知角α的终边经过点P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值．

3．进一步理解任意角三角函数的概念

问题6：

你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？

研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域．三角函数的对应法则已经由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域．通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．

学生求出定义域，教师进行整理．

问题7：

上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？

通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想．

学生回答，教师整理．

例2：

求证：

（1）当不等式组成立时，角θ为第三象限角；

（2）当角θ为第三象限角时，不等式组成立．

通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念．

在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练．

问题8：

既然我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？

它所对应的三角函数值又将怎样变化？

引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想．

在教师引导下，由学生讨论完成．

例3：

先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值：

（1）sin；

（2）cos3π；

（3）tan；

（4）cos．

将确定函数值的符号与求函数值这两个问题合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念．

先完成题

（1），再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题．

4．练习

1．填表：

角α

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

角α的弧度数

sinα

cosα

tanα

2．设α是三角形的一个内角，在sinα，cosα，tanα，tan中，有可能取负值的是　　　　　　　．

3．选择“>

”，“<

”，“＝”填空：

（1）cos0；

（2）tan0；

（3）sin0；

（4）tan556°

0．

4．选择①sinθ>

0，②sinθ<

0，③cosθ>

0，④cosθ<

0，⑤tanθ>

0，⑥tanθ<

0中适当的关系式的序号填空：

（1）当角θ为第一象限角时，，反之也对；

（2）当角θ为第二象限角时，，反之也对；

（3）当角θ为第三象限角时，，反之也对；

（4）当角θ为第四象限角时，，反之也对．

5．求的正弦、余弦和正切值．

6．已知角θ的终边经过点P（－12，5），求角θ的正弦、余弦和正切值．

7．求下列三角函数值（求非特殊角的三角函数值可用计算器）：

（1）cos1109°

；

（2）tan；

（3）sin；

（4）tan．

通过应用三角函数的定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值、三角函数值的符号、公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解．

根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容作具体调整．

5．小结

问题9：

锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数，借助直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数．你能再回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？

回顾和总结本节课的主要内容．

在学生给出定义之后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点．

问题10：

今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用．你能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了哪些问题？

回顾和总结三角函数定义在本节课中的应用．

在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数形结合思想．

6．作业

教科书P.20习题1.2A组第1，2，3

（1）、（3），4

（1）、（3），5，6

（1）、

（2）、（3），7

（1）、（3），8

（1）、（3），9题．

设