人教版高中数学《不等式》全部教案Word格式文档下载.doc
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；
当时=；
当时<
3．设且，比较与的大小
∴
当时≤；
当时≥
四、不等式的性质
1．性质1：
如果，那么；
如果，那么（对称性）
证：
∵∴由正数的相反数是负数
2．性质2：
如果，那么（传递性）
∵，∴，
∵两个正数的和仍是正数∴
∴
由对称性、性质2可以表示为如果且那么
五、小结：
1．不等式的概念2．一个充要条件
3．性质1、2
六、作业：
P5练习P8习题6.11—3
补充题：
1．若，比较与的大小
-=……=∴≥
2．比较2sinq与sin2q的大小（0<
q<
2p）
略解：
2sinq-sin2q=2sinq（1-cosq）
当qÎ
（0,p）时2sinq（1-cosq）≥02sinq≥sin2q
（p,2p）时2sinq（1-cosq）<
02sinq<
sin2q
3．设且比较与的大小
当时∴>
∴总有>
第二教时
不等式基本性质（续完）
继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。
一、复习：
不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2
二、1．性质3：
如果，那么（加法单调性）反之亦然
∵∴
从而可得移项法则：
推论：
如果且，那么（相加法则）
如果且，那么（相减法则）
∵∴
或证：
上式>
0………
2．性质4：
如果且,那么；
如果且那么（乘法单调性）
∵∴
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：
时即：
推论1如果且，那么（相乘法则）
推论1’（补充）如果且，那么（相除法则）
∵∴
推论2如果,那么
3．性质5：
如果，那么
（反证法）假设
则：
若这都与矛盾∴
三、小结：
五个性质及其推论
口答P8练习1、2习题6.14
四、作业P8练习3习题6.15、6
五、供选用的例题（或作业）
1．已知，，，求证：
2．若，求不等式同时成立的条件
3．设，求证
∵∴
又∵∴>
0∴
∵∴
∴
4．比较与的大小
-当时∵即
∴∴<
当时∵即
∴∴>
5．若求证：
∵∴∴
∵∴∴
6．若求证：
∵p>
1∴
又∵∴
∴∴原式成立
第三教时
算术平均数与几何平均数
要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。
一、定理：
如果，那么（当且仅当时取“=”）
证明：
1．指出定理适用范围：
2．强调取“=”的条件
二、定理：
如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）
证明：
∵∴
即：
当且仅当时
注意：
1．这个定理适用的范围：
2．语言表述：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
三、推广：
定理：
如果，那么
（当且仅当时取“=”）
∵∴上式≥0从而
指出：
这里∵就不能保证
推论：
证明：
四、关于“平均数”的概念
1．如果则：
叫做这n个正数的算术平均数
叫做这n个正数的几何平均数
2．点题：
3．基本不等式：
≥
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）
语言表述：
n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
4．的几何解释：
A
B
D’
D
C
a
b
以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’^AB则
从而
而半径
五、例一已知为两两不相等的实数，求证：
∵
以上三式相加：
六、小结：
算术平均数、几何平均数的概念
基本不等式（即平均不等式）
七、作业：
P11-12练习1、2P12习题5.21--3
补充：
1．已知，分别求的范围
（8,11）（3,6）（2,4）
2．试比较与（作差>
）
3．求证：
三式相加化简即得
第四教时
极值定理
要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。
二、复习：
算术平均数与几何平均数定义，平均不等式
三、若，设
求证：
加权平均；
算术平均；
几何平均；
调和平均
∴即：
（俗称幂平均不等式）
由平均不等式
即：
综上所述：
例一、若求证
由幂平均不等式：
四、极值定理
已知都是正数，求证：
1°
如果积是定值，那么当时和有最小值
2°
如果和是定值，那么当时积有最大值
∵∴
当（定值）时，∴
∵上式当时取“=”∴当时有
注意强调：
最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）
2°
用极值定理求最值的三个必要条件：
一“正”、二“定”、三“相等”
五、例题
1．证明下列各题：
⑴
∵∴
于是
⑵若上题改成，结果将如何？
∵
⑶若则
若则显然有
若异号或一个为0则∴
2．①求函数的最大值
②求函数的最大值
①∵∴∴当即时
即时
②∵∴
∴当时
3．若，则为何值时有最小值，最小值为几？
∵∴
∴=
当且仅当即时
六、小结：
1．四大平均值之间的关系及其证明
2．极值定理及三要素
七、作业：
P12练习3、4习题6.24、5、6
下列函数中取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？
时
3°
时
第五教时
极值定理的应用
要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。
八、复习：
基本不等式、极值定理
九、例题：
1．求函数的最大值，下列解法是否正确？
为什么？
解一：
解二：
当即时
答：
以上两种解法均有错误。
解一错在取不到“=”，即不存在使得；
解二错在不是定值（常数）
正确的解法是：
当且仅当即时
2．若，求的最值
∵∴
从而
即
3．设且，求的最大值
又
4．已知且，求的最小值
十、关于应用题
1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）
2．将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？
最大容积是多少？
设剪去的小正方形的边长为
则其容积为
当且仅当即时取“=”
即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为
十一、作业：
P12练习4习题6.27
1．求下列函数的最值：
（min=6）
（）
2．1°
时求的最小值，的最小值
设，求的最大值（5）
若,求的最大值
4°
若且，求的最小值
3．若，求证：
的最小值为3
4．制作一个容积为的圆柱形容器（有底有盖），问圆柱底半径和
高各取多少时，用料最省？
（不计加工时的损耗及接缝用料）
第六教时
不等式证明一（比较法）
以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：
作差——变形——判断——结论
二、作差法：
（P13—14）
1．求证：
x2+3>
3x
证：
∵（x2+3）-3x=
∴x2+3>
2．已知a,b,m都是正数，并且a<
b，求证：
证：
∵a,b,m都是正数，并且a<
b，∴b+m>
0,b-a>
0
∴即：
变式：
若a>
b，结果会怎样？
若没有“a<
b”这个条件，应如何判断？
3．已知a,b都是正数，并且a¹
a5+b5>
a2b3+a3b2
（a5+b5）-（a2b3+a3b2）=（a5-a3b2）+（b5-a2b3）
=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）
=（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）
∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>
又∵a¹
b，∴（a-b）2>
0∴（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）>
a5
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