不等关系与不等式Word格式文档下载.docx
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b；
②a－b＝0⇔a＝b；
③a－b<
0⇔a<
b.
思考
（1）x＞1时，x2－x____0（填“＞”或“＜”）．
（2）（＋）2____10＋4（填“＞”或“＜”）．
答案
（1）＞
（2）＜
解析
（1）x2－x＝x（x－1）
x＞1时，x－1＞0，x＞0，
∴x（x－1）＞0，∴x2－x＞0.
（2）（＋）2＝8＋2＝8＋4＜10＋4.
知识点三 常用的不等式的基本性质
（1）a>
b⇔b<
a（对称性）；
（2）a>
b，b>
c⇒a>
c（传递性）；
（3）a>
b⇒a＋c>
b＋c（可加性）；
（4）a>
b，c>
0⇒ac>
bc；
a>
b，c<
0⇒ac<
（5）a>
d⇒a＋c>
b＋d；
（6）a>
b>
0，c>
d>
bd；
（7）a>
0⇒an>
bn）（n∈N，n≥1；
（8）a>
0⇒>
）（n∈N，n≥2.
题型一 用不等式（组）表示不等关系
例1 《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
……
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……
设身高为h（米），物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米），请用不等式表示下表中的不等关系．
文字表述
身高在1.1～1.4米
身高超过1.4米
身高不足1.1米
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
解 由题意可获取以下主要信息：
（1）身高用h（米）表示，物体长、宽、高尺寸之和为P（厘米）；
（2）题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．
身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4，
身高超过1.4米可表示为h＞1.4，
身高不足1.1米可表示为h＜1.1，
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：
1.1≤h≤1.4
h＞1.4
h＜1.1
P≤160
跟踪训练1 如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．
解 由题意，得
题型二 比较实数（式）的大小
例2
（1）比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R；
（2）设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解
（1）∵x6＋1－（x4＋x2）
＝x6－x4－x2＋1
＝x4（x2－1）－（x2－1）
＝（x2－1）（x4－1）
＝（x2－1）2（x2＋1）≥0.
∴当x＝±
1时，x6＋1＝x4＋x2；
当x≠±
1时，x6＋1＞x4＋x2.
综上所述，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±
1时取等号．
（2）∵（5x2＋y2＋z2）－（2xy＋4x＋2z－2）
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝（2x－1）2＋（x－y）2＋（z－1）2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．
跟踪训练2 设a＞0，b＞0，且a≠b，比较aabb与abba的大小．
解 ＝aa－bbb－a＝a－b，
当a＞b＞0时，＞1，a－b＞0，∴a－b＞1，
当b＞a＞0时，0＜＜1，a－b＜0，∴a－b＞1，
∴a－b＞1，即＞1，
又∵aabb＞0，abba＞0，∴aabb＞abba.
题型三 不等式性质的应用
例3 已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：
＞.
证明 ∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0，
又∵a＞b＞0，
∴a＋（－c）＞b＋（－d）＞0，
即a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜，
又∵e＜0，
∴＞.
跟踪训练3 已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：
n－ap＜m－bp.
证明 ∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp.
∴－ap＜－bp，
又m＞n，即n＜m.
∴n－ap＜m－bp.
忽视性质成立的条件导致错误
例4 已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
错解 1≤a－b≤2，①
2≤a＋b≤4，②
由①＋②，得3≤2a≤6，
∴≤a≤3，③
由②＋①×
（－1），得0≤2b≤3，
∴0≤b≤，④
由③×
4＋④×
（－2），
得3≤4a－2b≤12.
错因分析 由上述解题过程可知，当a＝且b＝时，3≤4a－2b才取等号，而此时a－b＝0，不满足①式，因此4a－2b是不能等于3的．同理可验证4a－2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形，因此结论是错误的．
正解 令a＋b＝u，a－b＝v，
则2≤u≤4,1≤v≤2.
由解得
∴4a－2b＝4·
－2·
＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.
∵2≤u≤4,3≤3v≤6，
∴5≤u＋3v≤10.
∴5≤4a－2b≤10.
误区警示 把条件中的a－b和a＋b分别看做一个整体，采用整体代入法，并结合不等式的性质求解，可以得到正确的结论．
1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是（ ）
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
2．设x<
a<
0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x2<
ax<
a2 B．x2>
ax>
a2
C．x2<
a2<
ax D．x2>
a2>
ax
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
4．若x∈R，则与的大小关系为________．
一、选择题
1．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是（ ）
A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞b
C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b
2．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A．ab＜b2＜1 B．logb＜loga＜0
C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1
3．已知a，b∈（0,1），记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜N B．M＞N
C．M＝N D．不确定
4．已知四个条件：
①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出＜成立的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列选项中不恒成立的是（ ）
A.＞ B.＞0
C.＞ D.＜0
6．下列命题中，一定正确的是（ ）
A．若a＞b，且＞，则a＞0，b＜0
B．若a＞b，b≠0，则＞1
C．若a＞b，且a＋c＞b＋d，则c＞d
D．若a＞b，且ac＞bd，则c＞d
7．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室（ ）
A．甲 B．乙
C．同时到达 D．无法判断
二、填空题
8．给出下列命题：
①a＞b⇒ac2＞bc2；
②a＞|b|⇒a2＞b2；
③a＞b⇒a3＞b3；
④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题序号是________．
9．一辆汽车原来每天行驶xkm，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写出不等式为______________；
如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________．
10．已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－3y的取值范围是______．
三、解答题
11．
（1）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：
≤；
（2）已知a，b，m均为正数，且a＜b，求证：
12．若二次函数f（x）的图象关于y对称，且1≤f
（1）≤2,3≤f
（2）≤4，求f（3）的取值范围．
13．设f（x）＝1＋logx3，g（x）＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f（x）与g（x）的大小．
当堂检测答案
1．答案 D
解析 据题意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故选D.
2．答案 B
解析 ∵x<
0，∴x2>
a2.
∵x2－ax＝x（x－a）>
ax.
又ax－a2＝a（x－a）>
0，∴ax>
∴x2>
xa>
3．答案 A
解析 M－N＝x2＋x＋1＝（x＋）2＋＞0.
∴M＞N.
4．答案 ≤
解析 －＝＝≤0.
∴≤.
课时精练答案
1．答案 C
解析 方法一 ∵a＋b＞0，∴a＞－b，
又b＜0，∴a＞0，且|a|＞|b|，
∴a＞－b＞b＞－a.
方法二 设a＝3，b＝－2，则a＞－b＞b＞－a.
2．答案 C
解析 设a＝，b＝，验证即得A、D错误；
结合y＝logx，y＝2x的单调性得B错误，C正确．
3．答案 B
解析 M－N＝ab－（a＋b－1）＝ab－a－b＋1
＝（a－1）（b－1）．
∵a，b∈（0,1），∴a－1＜0，b－1＜0
∴M－N＞0，∴M＞N.
4．答案 C
解析 ①中，a＜0＜b，∴＜，
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