《用向量法求异面直线所成的角》教案Word文档下载推荐.doc

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空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。

教学目标

1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法；

2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.

教学重点

求解异面直线所成的角的向量法.

教学难点

教学过程

Ⅰ、复习回顾

一、回顾有关知识：

1、两异直线所成的角：

（范围：

）

（1）定义：

过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´

与b´

，那么直线a´

所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所成的角.

（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b的方向向量分别为和，

a

b

O

问题1：

当与的夹角不大于90°

时，异面直线a、b所成

的角与和的夹角的关系？

问题2：

与的夹角大于90°

时，，异面直线a、b所成的角

与和的夹角的关系？

两向量数量积的定义：

两向量夹角公式：

结论：

异面直线a、b所成的角的余弦值为

2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；

（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

（回到图形）

Ⅱ、典例分析与练习

思考：

在正方体中，若与分别为、

的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？

（1）方法总结：

①几何法；

②向量法

（2）与相等吗？

（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？

例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.

A

B

C

A1

B1

C1

x

y

Z

D

分析：

建立空间直角坐标系，转化为向量与向量的夹角问题。

步骤：

1.写出异面直线的方向向量的坐标。

2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。

解：

如图建立空间直角坐标系，

则

，

即

和所成的角为

总结:

（1）与相等吗？

（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？

点拨求异面直线所成的角可利用空间向量表示直线的方向向量，转化为向量所成的角。

两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是。

当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；

当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角。

练习1：

在Rt△AOB中，∠AOB=90°

，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。

以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设,

则A（1,0,0），B（0,1,0），F1（,0,1），D1（,,1）

所以，异面直线BD₁与AF₁所成的角的余弦值为.

练习2：

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M是AB的中点，求对角线DB₁与CM所成角的余弦值.

建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，

则D（0，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），M.

∴1＝（1，1，1），＝，

∴cos〈1，〉＝＝＝.

∴异面直线DB1与CM所成角的余弦值为.

Ⅲ、小结与收获

1、异面直线所成的角的余弦值：

；

2、用空间向量解决立体几何问题的一般步骤.

Ⅳ、课后练习

1、如图，在棱长为２的正方体中，E、F分别是棱的中点．

求异面直线所成的角.

2、如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点.

求异面直线与所成角的余弦值．

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