1、空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对线线角的求法进行总结。教学目标1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法;2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题;3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求解异面直线所成的角的向量法.教学难点 教学过程、复习回顾一、回顾有关知识: 1、两异直线所成的角:(范围:)(1)定义:过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a与b,那么直线a 所成的锐角或直角,叫做异面直线a与b 所成的角.(2)用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a、b的方向向量分别为和,abO问题1: 当与的夹角不大于90时,异面直线a、b 所成的角与
2、 和 的夹角的关系? 问题 2:与的夹角大于90时,异面直线a、b 所成的角与 和的夹角的关系? 两向量数量积的定义:两向量夹角公式:结论:异面直线a、b所成的角的余弦值为2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形)、典例分析与练习思考:在正方体中,若与分别为、的四等分点,求异面直线与的夹角余弦值?(1)方法总结:几
3、何法;向量法(2)与相等吗?(3)空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别?例1 如图,正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,求和所成的角.ABCA1B1C1xyZD分析:建立空间直角坐标系,转化为向量与向量的夹角问题。步骤:1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解:如图建立空间直角坐标系,则 ,即 和所成的角为总结: (1)与相等吗?(2)空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别?点拨 求异面直线所成的角可利用空间向量表示直线的方向向量,转化为向量所成的角。两异面直线所成角的范围是,两向量的夹角的范围是。当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线
4、的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角。练习1:在RtAOB中,AOB=90,现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置,已知OA=OB=OO1,取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1,求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,并设,则A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,F1( ,0,1) ,D1( , ,1)所以,异面直线BD与AF所成的角的余弦值为 .练习2:在正方体ABCDABCD中,M是AB的中点,求对角线DB与CM所成角的余弦值.建立如图所示的直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),M.1(1,1,1),cos1,.异面直线DB1与CM所成角的余弦值为.、小结与收获1、异面直线所成的角的余弦值:;2、用空间向量解决立体几何问题的一般步骤.、课后练习1、如图,在棱长为的正方体中,E、F分别是棱的中点 求异面直线所成的角.2、如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AA14,点D是AB的中点.求异面直线与所成角的余弦值4