专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明Word文件下载.doc
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由得,∵为函数,∴
又∵在(-1,1)内递减,∴
3.如果=(a>
0)对任意的有,比较的大小
对任意有∴=2为抛物线=的对称轴
又∵其开口向上∴
(2)最小,
(1)=(3)∵在[2,+∞)上,为增函数
∴(3)<
(4),∴
(2)<
(1)<
(4)
4.已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。
分析:
由题设可知,函数f(x)是的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究它的单调性。
设,∵当,∴,
∵,
∴,即,∴f(x)为增函数。
在条件中,令y=-x,则,再令x=y=0,则f(0)=2f(0),∴f(0)=0,故f(-x)=f(x),f(x)为奇函数,
∴ f
(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2f(-1)=-4,
∴f(x)的值域为[-4,2]。
5.已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式的解。
由题设条件可猜测:
f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。
解:
设,∵当,∴,则,
即,∴f(x)为单调增函数。
∵,又∵f(3)=5,∴f
(1)=3。
∴,∴,即,解得不等式的解为-1<
a<
3。
6.设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:
存在,使得,对任何x和y,成立。
求:
(1)f(0);
(2)对任意值x,判断f(x)值的正负。
由题设可猜测f(x)是指数函数的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0。
(1)令y=0代入,则,∴
。
若f(x)=0,则对任意,有,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。
(2)令y=x≠0,则,又由
(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。
7.是否存在函数f(x),使下列三个条件:
①f(x)>0,x∈N;
②;
③f
(2)=4。
同时成立?
若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。
由题设可猜想存在,又由f
(2)=4可得a=2.故猜测存在函数,用数学归纳法证明如下:
(1)x=1时,∵,又∵x∈N时,f(x)>0,∴,结论正确。
(2)假设时有,则x=k+1时,,∴x=k+1时,结论正确。
综上所述,x为一切自然数时。
8.设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足,求:
(1)f
(1);
(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。
由题设可猜测f(x)是对数函数的抽象函数,f
(1)=0,f(9)=2。
(1)∵,∴f
(1)=0。
(2),从而有f(x)+f(x-8)≤f(9),
即,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故
,解之得:
8<x≤9。
9.设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。
如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·
g(b)是否正确,试说明理由。
分析:
由题设条件可猜测y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y=f(x)的反函数是y=g(x),∴y=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想g(a+b)=g(a)·
g(b)正确。
设f(a)=m,f(b)=n,由于g(x)是f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b,从而,∴g(m)·
g(n)=g(m+n),以a、b分别代替上式中的m、n即得g(a+b)=g(a)·
g(b)。
10.己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
①当是定义域中的数时,有;
②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);
③当0<x<2a时,f(x)<0。
试问:
(1)f(x)的奇偶性如何?
说明理由。
(2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?
由题设知f(x)是y=-cotx的抽象函数,从而由y=-cotx及题设条件猜想:
f(x)是奇函数且在(0,4a)上是增函数(这里把a看成进行猜想)。
(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且是定义域中的数时有
,∴在定义域中。
∵
,
∴f(x)是奇函数。
(2)设0<x1<x2<2a,则0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上f(x)<0,
∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知中的,于是f(x1)<f(x2),∴在(0,2a)上f(x)是增函数。
又,∵f(a)=-1,∴,∴f(2a)=0,设2a<x<4a,则0<x-2a<2a,
,于是f(x)>0,即在(2a,4a)上f(x)>0。
设2a<x1<x2<4a,则0<x2-x1<2a,从而知f(x1),f(x2)均大于零。
f(x2-x1)<0,∵,∴,即
f(x1)<f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数。
综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。
11.已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·
f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当时,。
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)若,求a的取值范围。
由题设可知f(x)是幂函数的抽象函数,从而可猜想f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数。
(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)·
f(-1),∵f(-1)=1,∴
f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。
(2)设,∴,,
∵时,,∴,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在0,+∞)上是增函数。
(3)∵f(27)=9,又,
∴,∴,∵,∴,
∵,∴,又,故。
12.设f(x)定义于实数集上,当时,,且对于任意实数x、y,有,求证:
在R上为增函数。
在中取,得
若,令,则,与矛盾
所以,即有
当时,;
当时,
而
所以
又当时,
所以对任意,恒有
设,则
所以在R上为增函数。
13.已知函数对任意不等于零的实数都有,试判断函数f(x)的奇偶性。
取得:
,所以
又取得:
再取则,即
因为为非零函数,所以为偶函数。
14.定义在R上的函数f(x)满足:
对任意实数m,n,总有,且当x>
0时,0<
f(x)<
1。
判断f(x)的单调性;
在中,令,得,因为,所以。
在中,令因为当时,
所以当时而所以
又当x=0时,,所以,综上可知,对于任意,均有。
所以所以在R上为减函数。
15.设函数f(x)对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>
0时f(x)<
0,且f
(1)=-2,求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
解析:
由单调性的定义步骤设x1<
x2,则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)<
f(x1).(∵x2-x1>
0,∴f(x2-x1)<
0)
所以f(x)是R上的减函数,故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f
(1)+f
(2)=3f
(1)=-6,最小值为f(-3),
令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.
16.设f(x)定义于实数集上,当x>
0时,f(x)>
1,且对于任意实数x、y,有f(x+y)=f(x)f(y),求证:
f(x)在R上为增函数。
设R上x1<
x2,则f(x2-x1)>
1,
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1),因为f(x1)的正负还没确定)。
取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;
若f(0)=0,令x>
0,y=0,则f(x)=0与x>
1矛盾,所以f(0)=1,x>
1>
0,x<
0时,-x>
0,f(-x)>
1,∴由,故f(x)>
0,从而f(x2)>
f(x1).即f(x)在R上是增函数。
17.已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有,且当时,
(1)f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)解不等式
(1)设,则
∵,∴,∴,即,∴
∴在上是增函数
(2),∴,∵是偶函数∴不等式可化为,又∵函数在上是增函数,∴0≠,解得:
18.已知函数f(x)的定义域为R,且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(-)=0,当x>
-时,f(x)>
0.求证:
f(x)是单调递增函数;
设x1<x2,则x2-x1->
-,由题意f(x2-x1-)>
0,
∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-)-1=f[(x2-x1)-]>
0,∴f(x)是单调递增函数.
19.定义在R+上的函数f(x)满足:
①对任意实数m,f(xm)=mf(x);
②f
(2)=1.
(1)求证:
f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立;
(2)证明f(x)是R+上的单调增函数;
(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.
解:
(1)令x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f
(2)=m+n.
又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf
(2)+nf
(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)
故f(x1)<
f(x2),即f(x)是R+上的增函数.
(3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性质,得f[x(x-3)]≤2f
(2)=f
(2),解得3<
x≤4.
20.已知函数对任意不等于零的实数都有,试判断函数f(x)的奇偶性。
21.已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足,
(2)存在正常数a,使f(a)=1.求证:
f(x)是奇函数。
证明:
设t=x-y,则,所以f(x)为奇函数。
22.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证f(x)为奇函数;
(2)若f(k·
3)+f(3-9-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
(1)证明:
f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)----①令y=-x,代入①式,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,∴f(x