万能公式和数列证明答题模板Word文档格式.doc

万能公式和数列证明答题模板Word文档格式.doc

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∴an=－（代题头，自身变换成Sn-1）=化简为最简形式（*）

（*）部分经常见到的为四种形式

【形式一】∴an=关于n的表达式（#）--譬如an=2n-1

结论答法一：

经检验n=1时，满足an，∴数列{an}的通项公式为（#）

结论答法二：

经检验n=1时，不满足an，∴数列{an}的通项公式为

【形式二A】∴an=an-1+常数--譬如an=an-1+1

∴数列{an}为等差数列，且公差为常数

∴an=a1+（n－1）公差

【形式二B】∴an+1=常数an--譬如an=2an-1

∴数列{an}为等比数列，且公比为常数

∴an=a1公比n-1

【形式三】∴an=Aan-1+B或者--譬如an=2an-1+3

∴（an+常数）=A（an-1+常数）常数为

∴数列{an+常数}为等比数列，且公比为A

∴an+常数=（a1+常数）An-1∴an=

【形式四A】∴an=an-1+f（n）【形式四B】∴an=f（n）an-1

譬如an=an-1+n（方法：

累和法）譬如an=nan-1（方法：

累积法）

∴a2－a1=f

（2）∴=f

（2）

a3－a2=f（3）=f（3）

a4－a3=f（4）=f（4）

…………

an－an-1=f（n）=f（n）

将以上各式相加，整理得将以上各式相乘，整理得

an－a1=f

（2）+f（3）+…+f（n）=f

（2）f（3）…f（n）

∴an=∴an=

证明等差（比）数列模板

数列{an}中，an＝3n2－2n，则a1=3－2=1，an-1＝3（n－1）2－2（n－1）=3n2－8n+5

【题头1】数列{an}中，条件A,条件B，条件C，求证：

数列{bn}是等差（比）数列

【模板说明】由定义出发，倒序法进行证明，即证明，bn+1－bn=常数或

证明，bn－bn-1=常数，通过逆推：

条件C,条件B,条件A,得到常数，即证明等差（比）数列

【模板】自身替换是指，将n换成n+1，或n换成n-1

（1）等差数列bn+1－bn=自身代换－代入题头=不动－代入题头=常数，结论（抄题）

如果化简困难：

代入n=1，求解常数

（2）等差数列bn－bn-1=代入题头－自身代换=代入题头－不动=常数，结论（抄题）

如果化简困难：

代入n=2，求解常数

（3）等比数列=，结论（抄题）

（4）等比数列=，结论（抄题）

【样题】．数列满足，，，求证：

数列{bn}是等比数列

【分析】由于出现的为n和n-1，所以采用（4）完成模版证明

证明：

=，数列{bn}是等比数列

温馨提示：

如果常数你化不出来，可以代入n=2，利用a1进行求解常数

【练习1】数列满足，，求证：

【练习2】数列满足，，求证：

数列是等差数列；

【题头2】数列{an}中，Sn与an（或Sn与n）的关系式形式，求证：

数列{an}是等差数列

【模板】万能公式法（也叫作Sn法）

∴an=－（代题头，自身变换成Sn-1），∴化简（会出现两种情况）

【形式A】∴an=an-1+常数--譬如an=an-1+1

抢分环节

∴数列{an}为等差数列，且公差为常数∴an=a1+（n－1）公差

∴数列{an}为等比数列，且公比为常数∴an=a1公比n-1

【样题】．数列的前n项和，且,证明数列等比数列

当n=1时，a1=S1=∴a1=-----（1分）

当n≥2时，an=Sn－Sn-1-----（1分）

∴an=－∴-----（2分）

∴数列等比数列-----（1分）且公比为∴an=（）n-1=（）n-----（1分）

【练习1】数列的前n项和为，，正整数对应的成等差数列.

证明成等比数列

【练习2】数列，是它的前项和，且，

（Ⅰ）设，求证：

数列是等比数列；

（Ⅱ）设，求证：

【练习3】数列中，前和，求证：

数列是等差数列

【练习4】数列中，，证明数列是等比数列．

【练习5】设数列的前项和，且成等差数列.证明数列是等差数列．并求的通项公式；

【练习6】已知数列,＞0，=,证明数列是等差数列