万能公式和数列证明答题模板Word文档格式.doc
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∴an=-(代题头,自身变换成Sn-1)=化简为最简形式(*)
(*)部分经常见到的为四种形式
【形式一】∴an=关于n的表达式(#)--譬如an=2n-1
结论答法一:
经检验n=1时,满足an,∴数列{an}的通项公式为(#)
结论答法二:
经检验n=1时,不满足an,∴数列{an}的通项公式为
【形式二A】∴an=an-1+常数--譬如an=an-1+1
∴数列{an}为等差数列,且公差为常数
∴an=a1+(n-1)公差
【形式二B】∴an+1=常数an--譬如an=2an-1
∴数列{an}为等比数列,且公比为常数
∴an=a1公比n-1
【形式三】∴an=Aan-1+B或者--譬如an=2an-1+3
∴(an+常数)=A(an-1+常数)常数为
∴数列{an+常数}为等比数列,且公比为A
∴an+常数=(a1+常数)An-1∴an=
【形式四A】∴an=an-1+f(n)【形式四B】∴an=f(n)an-1
譬如an=an-1+n(方法:
累和法)譬如an=nan-1(方法:
累积法)
∴a2-a1=f
(2)∴=f
(2)
a3-a2=f(3)=f(3)
a4-a3=f(4)=f(4)
…………
an-an-1=f(n)=f(n)
将以上各式相加,整理得将以上各式相乘,整理得
an-a1=f
(2)+f(3)+…+f(n)=f
(2)f(3)…f(n)
∴an=∴an=
证明等差(比)数列模板
数列{an}中,an=3n2-2n,则a1=3-2=1,an-1=3(n-1)2-2(n-1)=3n2-8n+5
【题头1】数列{an}中,条件A,条件B,条件C,求证:
数列{bn}是等差(比)数列
【模板说明】由定义出发,倒序法进行证明,即证明,bn+1-bn=常数或
证明,bn-bn-1=常数,通过逆推:
条件C,条件B,条件A,得到常数,即证明等差(比)数列
【模板】自身替换是指,将n换成n+1,或n换成n-1
(1)等差数列bn+1-bn=自身代换-代入题头=不动-代入题头=常数,结论(抄题)
如果化简困难:
代入n=1,求解常数
(2)等差数列bn-bn-1=代入题头-自身代换=代入题头-不动=常数,结论(抄题)
如果化简困难:
代入n=2,求解常数
(3)等比数列=,结论(抄题)
(4)等比数列=,结论(抄题)
【样题】.数列满足,,,求证:
数列{bn}是等比数列
【分析】由于出现的为n和n-1,所以采用(4)完成模版证明
证明:
=,数列{bn}是等比数列
温馨提示:
如果常数你化不出来,可以代入n=2,利用a1进行求解常数
【练习1】数列满足,,求证:
【练习2】数列满足,,求证:
数列是等差数列;
【题头2】数列{an}中,Sn与an(或Sn与n)的关系式形式,求证:
数列{an}是等差数列
【模板】万能公式法(也叫作Sn法)
∴an=-(代题头,自身变换成Sn-1),∴化简(会出现两种情况)
【形式A】∴an=an-1+常数--譬如an=an-1+1
抢分环节
∴数列{an}为等差数列,且公差为常数∴an=a1+(n-1)公差
∴数列{an}为等比数列,且公比为常数∴an=a1公比n-1
【样题】.数列的前n项和,且,证明数列等比数列
当n=1时,a1=S1=∴a1=-----(1分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1-----(1分)
∴an=-∴-----(2分)
∴数列等比数列-----(1分)且公比为∴an=()n-1=()n-----(1分)
【练习1】数列的前n项和为,,正整数对应的成等差数列.
证明成等比数列
【练习2】数列,是它的前项和,且,
(Ⅰ)设,求证:
数列是等比数列;
(Ⅱ)设,求证:
【练习3】数列中,前和,求证:
数列是等差数列
【练习4】数列中,,证明数列是等比数列.
【练习5】设数列的前项和,且成等差数列.证明数列是等差数列.并求的通项公式;
【练习6】已知数列,>0,=,证明数列是等差数列