上海市上海理工大学附属中学学年高二下学期月考数学试题文档格式.docx

上海市上海理工大学附属中学学年高二下学期月考数学试题文档格式.docx

《上海市上海理工大学附属中学学年高二下学期月考数学试题文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市上海理工大学附属中学学年高二下学期月考数学试题文档格式.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

8．已知圆有且仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是_____________________；

9．若椭圆的弦被点平分，则所在的直线方程为_____________；

10．方程有且只有一个根，则的取值范围是____________________；

二、解答题

11．已知中的两个顶点，，顶点在曲线上运动，求的重心的轨迹方程.

12．设是椭圆上的两点，若直线的斜率为，且经过椭圆的左焦点，求的长.

13．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．

14．过点作直线交椭圆于两点，使（为坐标原点），求直线的方程.

参考答案

1．

【解析】

【分析】

根据题意圆与轴相切可得圆的半径为点横坐标的绝对值，代入圆的标准方程即可.

【详解】

∵以点为圆心的圆，且与轴相切，

∴所求圆的半径为5，

∴圆的标准方程为，

故答案为：

.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系和圆的方程，直线与圆相切则圆心到切线的距离即为半径，已知圆心与半径即可得到圆的标准方程，属于基础题.

2．

根据椭圆长轴长，焦距为可得，从而求出，由中心在原点，焦点在轴上，即可得椭圆标准方程.

中心在原点，焦点在轴上，设椭圆的标准方程为

∵长轴长，焦距为，

∴，，

∵，

∴，

∴椭圆的标准方程为，

本题考查椭圆的基本性质，已知长轴和焦距即可确定，再根据焦点位置写出椭圆方程，属于基础题.

3．8.

先求出圆心和半径，再求出圆心到轴的距离，使用弦长公式即可求圆在轴上截得的弦长．

由圆得一般方程，

即，

∴圆心，半径

圆心到轴的距离，

∴弦长，

8.

本题考查直线与圆相交的性质，弦长公式的应用，根据弦心距、弦长的一半、圆的半径三者满足勾股定理，即可求解出弦长，属于基础题.

4．

把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，设出对称圆心，利用中点在垂线上，两圆心连线的斜率与已知直线的斜率为负倒数，求出圆心坐标，即可得到所求圆的方程．

圆化成标准方程，

故圆心为，半径，

设对称圆的方程圆心为，半径，

∵两圆关于直线对称，所以两圆心关于对称，

∴与中点在上，

即①，

又②，

①②联立解得，

∴所求对称的圆的方程，

关于求已知点关于某直线的对称点，可设所求点坐标，利用两点的中点满足对称轴方程，两点所在直线与对称轴垂直，即斜率之积为，列出方程组求解得所求点.

5．64.

根据题目三角形且满足，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则可利用椭圆的性质，根据完全平方公式和勾股定理可得的值，即可求得三角形的面积.

由椭圆可得.

为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，

可得①，

∴②，

①式平方可得，

整理得，

64.

本题考查椭圆的简单几何性质，利用完全平方公式及直角三角形三边关系，解出直角边之积进而得到三角形面积，属于简单题.

6．

试题分析：

直线所成的角为，

故的图象和圆所围成的较小的面积为圆面积的四分之一，

即.

7．

直线过定点（0,1）在椭圆外部，再根据椭圆定义得到，综合得到答案.

直线过定点（0,1），只要（0,1）不在椭圆外部即可,从而，

又因为椭圆中，所以的取值范围是.

本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，确定直线过定点是解题的关键.

8．（−13,13）

求出圆心，求出半径为2，圆心到直线的距离小于1即可．

圆半径为2，

圆心（0,0）到直线的距离小于1,即，

b的取值范围是（−13,13）.

（−13,13）.

本题考查了直线与圆的位置关系，圆上的点到直线的距离问题转化为圆心到直线的距离问题求解，考查逻辑推理和转化能力，属于中等题.

9．.

设A和B点坐标，代入椭圆方程，利用“点差法”即可求得直线的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线的方程．

设直线与椭圆的交点为，

∵为AB的中点,

∵又两点在椭圆上,则，

两式相减得,

则，

故所求直线的方程为，

本题考查弦所在的直线方程问题，涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，一般思路是设两点坐标代入曲线方程，两式作差、变形后代入中点坐标可得弦的斜率，从而得到直线方程，属于基础题.

10．或

问题转化为函数与函数的图象有且只有一个交点，做出图像即可求解.

∵方程有且只有一个根，

∴函数与函数的图象有且只有一个交点，

作出函数的图象如下，

结合图象可知，

当或时符合题意，

或.

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

11．.

可设重心坐标为，顶点坐标为，根据已知条件将用表示，再代入曲线的方程，求轨迹方程．

设顶点坐标为,△ABC重心坐标为（x,y），依题意有

，

解得，

因点在上移动,

所以，

整理得，即为所求△ABC重心轨迹方程.

本题考查轨迹方程求解，一般是求谁则设谁的坐标，然后根据题目等式条件代入直接求解即可，此类题的关键是建立所求轨迹上的点与已知方程的轨迹上点的关系，属于中等题.

12．

由椭圆方程求出其左焦点坐标，得到直线AB的方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式得答案.

∵椭圆方程，可得，

，

∴椭圆左焦点坐标

直线的斜率为，且经过椭圆的左焦点，

可得直线方程，

直线与椭圆联立，消去y得，

设，

∴；

本题考查了直线与椭圆相交的弦长公式，涉及直线与椭圆联立、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了计算能力，属于中等题．

13．动圆圆心的轨迹方程为．

由圆，圆得到，半径，，半径，

设动圆的半径为，

∵在内，

∴动圆只能在内与圆内切，不能是在动圆内，

即：

∵动圆与圆外切，

∵动圆与圆内切，

即到和到的距离之和为定值，

∴是以、为焦点的椭圆，且，，，

∴动圆圆心的轨迹方程为．

14．或

当轴时，把代入椭圆方程，无解，舍去．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，与椭圆交点为，联立方程，化为，要求．又可得，把根与系数的关系代入即可得出．

依题意，当轴时，

把代入椭圆方程：

无解，舍去．

当斜率存在，设过点的直线：

联立，

可得，

解得.

设直线与椭圆交点为，

∴直线方程是：

本题是直线与圆锥曲线的综合问题，涉及直线与椭圆联立、一元二次方程的根与系数的关系、两直线垂直的条件应用，垂直条件可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可，考查推理与计算能力，属于中等题.