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类型二 面积问题Word文件下载.docx

(1)求抛物线的解析式;

(2)求证:

直线l是⊙M的切线;

(3)点P为抛物线上一动点,且PE与直线l垂直,垂足为E.PF∥y轴,交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PEF的面积最小,若存在,请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值;

若不存在,请说明理由.

 第3题图第4题图

4.(2016聊城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(9,0)和C(0,4),CD垂直于y轴,交抛物线于点D,DE垂直于x轴,垂足为E,l是抛物线的对称轴,点F是抛物线的顶点.

(1)求出该二次函数的表达式以及点D的坐标;

(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合,再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合,得到Rt△A1O1F,求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积;

(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0<t≤6)得到Rt△A2O2C2,Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S.求S与t之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围.

答案

1.解:

(1)①∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0),B(8,0),C(0,-4),

∴,

解得,

∴抛物线的解析式为y=x2-x-4,

∵OA=2,OB=8,OC=4,

∴AB=10,

如解图①,连接AC,BC,

第1题解图①

 

由勾股定理得AC=,BC=,

∵AC2+BC2=AB2=100,

∴∠ACB=90°

∴AB为圆的直径,

由垂径定理可知,点C、D关于直径AB对称,

∴D(0,4);

②设直线BD的解析式为y=kx+b,

∵B(8,0),D(0,4),

∴直线BD解析式为y=-x+4.

设M(x,x2-x-4),

如解图②,过点M作ME∥y轴,交BD于点E,则E(x,-x+4),

第1题解图②

∴ME=(-x+4)-(x2-x-4)=-x2+x+8,

∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME(xE-xD)+ME(xB-xE)=ME(xB-xD)=4ME,

∴S△BDM=4(-x2+x+8)=-x2+4x+32=-(x-2)2+36,

∴当x=2时,△BDM的面积有最大值为36;

(2)如解图③,连接AD,BC.

第1题解图③

由圆周角定理得∠ADO=∠CBO,∠DAO=∠BCO,

∴△AOD∽△COB,

∴=.

设A(x1,0),B(x2,0).

∵已知抛物线y=x2+bx+c(c<

0),

∵OC=-c,x1x2=c,

∴=,

∴OD==1,

∴无论b,c取何值,点D均为定点,该定点坐标为D(0,1).

2.解:

(1)∵CD∥x轴,CD=2,

∴抛物线对称轴为直线l∶x=1,

∴-=1,b=-2,

∵OB=OC,C(0,c),∴B点坐标为(-c,0),

∴0=c2+2c+c,

解得c=-3或c=0(舍去),

∴c=-3;

(2)设点F坐标为(0,m),

∵对称轴是直线l∶x=1,抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2,m),顶点坐标E为(1,-4),

设直线BE的解析式为y=kx+b,

∵直线BE经过点B(3,0),E(1,-4),

∴直线BE的解析式为y=2x-6,

∵点F′在BE上,

∴m=2×

2-6=-2,即点F坐标为(0,-2);

(3)存在点Q满足题意.

解法一:

如解图,设点P坐标为(n,0),则PA=n+1,PB=PM=3-n,PN=-n2+2n+3,

作QR⊥PN,垂足为R,

∵S△PQN=S△APM,

∴(n+1)(3-n)=(-n2+2n+3)·

QR,

∴QR=1,

①点Q在直线PN的左侧时,Q点坐标为(n-1,n2-4n),R点坐标为(n,n2-4n),N点坐标为(n,n2-2n-3),

∴由勾股定理得,NQ2=1+(2n-3)2,

∴当n=时,NQ取得最小值1,

此时Q点坐标为(,-);

②点Q在直线PN的右侧时,Q点坐标为(n+1,n2-4),

同理NQ2=1+(2n-1)2,

此时Q点坐标为(,-),

综上所述,满足题意的点Q的坐标为(,-)和(,-).

第2题解图

3.

(1)解:

∵点M(-1,2)是抛物线的顶点,

∴设抛物线解析式为y=a(x+1)2+2,

又∵点D(2,0)在抛物线上,

∴代入得0=a(2+1)2+2,

解得a=-,

∴抛物线的解析式为y=-(x+1)2+2=-x2-x+;

(2)证明:

∵点A是y=-x+4与y轴的交点,∴令x=0,得y=4,

∴A(0,4),

∴OA=4.

将y=0代入y=-x+4,得x=8,

∴B(8,0).

如解图,连接MA,MB,

则MA==,MA2=5,

MB==,

MB2=85,

AB==,AB2=80.

∵MA2+AB2=MB2.

∴MA⊥AB.

又∵M是⊙M的圆心,MA是⊙M的半径,

∴AB是⊙M的切线,

即直线l是⊙M的切线;

第3题解图

解法二:

如解图,过点M作MG⊥OA于点G,

∵M(-1,2),

∴MG=1,AG=2,

∴tan∠MAG==,

∵OB=8,

∴tan∠ABO==,

∵∠MAG与∠ABO均为锐角,

∴∠MAG=∠ABO,

∵∠ABO+∠OAB=90°

∴∠MAG+∠OAB=90°

,即∠MAB=90°

∵AM为⊙M的半径,

∴直线l是⊙M的切线;

解法三:

如解图,连接AM并延长,交x轴于点H,则H也是⊙M与x轴的交点,且AH为直径,

∵M是⊙M的圆心,

∴AH=2MA=2=2,

∴HO==2,

∴H的坐标为(-2,0),则HB=10,

又∵AB==4,

∴HB2=AH2+AB2,

又∵M是⊙M的圆心,MH是⊙M的直径,

(3)解:

存在,点P的坐标为(,),△PEF面积的最小值为.

理由如下:

∵PF∥y轴,且∠PEF=∠AOB=90°

∴∠OAB=∠EFP,

∴∠EPF=∠ABO,

∵OA=4,OB=8,

∴AB==4,

sin∠EPF=sin∠ABO==,

cos∠EPF=cos∠ABO==,

∴S△PEF=(PF·

sin∠EPF)·

(PF·

cos∠EPF)=PF2.

∵点P在抛物线上,设P(m,-m2-m+),PF∥y轴,点F在直线y=-x+4上,

∴F(m,-m+4),

∴PF=-m+4-(-m2-m+)=(m-)2+,

∴当m=时,PF有最小值,PF最小值为,

将PF=,代入S△PEF=PF2中,解得S△PEF=,

此时将m=-代入-m2-m+=,

即P(,).

4.解:

(1)把A(-3,0),B(9,0),C(0,4)代入y=ax2+bx+c中,

得,

∴二次函数的表达式为y=-x2+x+4,

∵CD⊥y轴,C(0,4),

∴-x2+x+4=4,

解得x1=0,x2=6,

∴点D的坐标为(6,4);

(2)∵-=-=3,

==,

∴顶点F的坐标为(3,),

如解图①,设CD与对称轴l的交点为H,CD与A1F的交点为G,

由平移的性质得FO1=OC=4,A1O1=AO=3,FH=-4=.

第4题解图①

∵CD垂直于y轴,

∴GH∥x轴,

又∵Rt△A1O1F由Rt△AOC平移得到,

∴A1O1∥AO∥GH,

∴△FA1O1∽△FGH,

∴=,即=,

∴GH=1,

∴S四边形A1O1HG=S△FA1O1-S△FGH=×

4-×

=;

(3)当0<t≤3时,如解图②,设O2C2与OD交于点K,则OO2=t,△OO2K∽△OED,

∴KO2=t,

∴S=S△OO2K=OO2·

KO2=×

t=t2(0<t≤3);

第4题解图②

当3<t≤6时,如解图③,设A2C2与OD交于点M,O2C2交OD于点N,

第4题解图③

作MG⊥CD于点G,延长GM交x轴于点H,则GH⊥x轴.

易知△C2MD∽△A2MO,△DMG∽△OMH,△ODE∽△ONO2,C2D=6-t,OA2=t-3,O2O=t,GH=4,

∴==,=,

∴=,=,

∴MH=,NO2=t,

∴S=S四边形A2O2NM=S△OO2N-S△OA2M

=×

t-(t-3)×

=t2-t2+4t-6

=-t2+4t-6(3<t≤6).

∴S与t之间的函数表达式为

S=.

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