类型二 面积问题Word文件下载.docx

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（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：

直线l是⊙M的切线；

（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E.PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小，若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；

若不存在，请说明理由．

　第3题图第4题图

4.（2016聊城）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－3，0），B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．

（1）求出该二次函数的表达式以及点D的坐标；

（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；

（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S.求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

答案

1.解：

（1）①∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－2，0），B（8，0），C（0，－4），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－4，

∵OA＝2，OB＝8，OC＝4，

∴AB＝10，

如解图①，连接AC，BC，

第1题解图①

由勾股定理得AC＝，BC＝，

∵AC2＋BC2＝AB2＝100，

∴∠ACB＝90°

，

∴AB为圆的直径，

由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，

∴D（0，4）；

②设直线BD的解析式为y＝kx＋b，

∵B（8，0），D（0，4），

∴直线BD解析式为y＝－x＋4.

设M（x，x2－x－4），

如解图②，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，－x＋4），

第1题解图②

∴ME＝（－x＋4）－（x2－x－4）＝－x2＋x＋8，

∴S△BDM＝S△MED＋S△MEB＝ME（xE－xD）＋ME（xB－xE）＝ME（xB－xD）＝4ME，

∴S△BDM＝4（－x2＋x＋8）＝－x2＋4x＋32＝－（x－2）2＋36，

∴当x＝2时，△BDM的面积有最大值为36；

（2）如解图③，连接AD，BC.

第1题解图③

由圆周角定理得∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO，

∴△AOD∽△COB，

∴＝.

设A（x1，0），B（x2，0）．

∵已知抛物线y＝x2＋bx＋c（c<

0），

∵OC＝－c，x1x2＝c，

∴＝，

∴OD＝＝1，

∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标为D（0，1）．

2.解：

（1）∵CD∥x轴，CD＝2，

∴抛物线对称轴为直线l∶x＝1，

∴－＝1，b＝－2，

∵OB＝OC，C（0，c），∴B点坐标为（－c，0），

∴0＝c2＋2c＋c，

解得c＝－3或c＝0（舍去），

∴c＝－3；

（2）设点F坐标为（0，m），

∵对称轴是直线l∶x＝1，抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，

∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为（2，m），顶点坐标E为（1，－4），

设直线BE的解析式为y＝kx＋b，

∵直线BE经过点B（3，0），E（1，－4），

∴直线BE的解析式为y＝2x－6，

∵点F′在BE上，

∴m＝2×

2－6＝－2，即点F坐标为（0，－2）；

（3）存在点Q满足题意．

解法一：

如解图，设点P坐标为（n，0），则PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3，

作QR⊥PN，垂足为R，

∵S△PQN＝S△APM，

∴（n＋1）（3－n）＝（－n2＋2n＋3）·

QR，

∴QR＝1，

①点Q在直线PN的左侧时，Q点坐标为（n－1，n2－4n），R点坐标为（n，n2－4n），N点坐标为（n，n2－2n－3），

∴由勾股定理得，NQ2＝1＋（2n－3）2，

∴当n＝时，NQ取得最小值1，

此时Q点坐标为（，－）；

②点Q在直线PN的右侧时，Q点坐标为（n＋1，n2－4），

同理NQ2＝1＋（2n－1）2，

此时Q点坐标为（，－），

综上所述，满足题意的点Q的坐标为（，－）和（，－）．

第2题解图

3.

（1）解：

∵点M（－1，2）是抛物线的顶点，

∴设抛物线解析式为y＝a（x＋1）2＋2，

又∵点D（2，0）在抛物线上，

∴代入得0＝a（2＋1）2＋2，

解得a＝－，

∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）2＋2＝－x2－x＋；

（2）证明：

∵点A是y＝－x＋4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝4，

∴A（0，4），

∴OA＝4.

将y＝0代入y＝－x＋4，得x＝8，

∴B（8，0）．

如解图，连接MA，MB，

则MA＝＝，MA2＝5，

MB＝＝，

MB2＝85，

AB＝＝，AB2＝80.

∵MA2＋AB2＝MB2.

∴MA⊥AB.

又∵M是⊙M的圆心，MA是⊙M的半径，

∴AB是⊙M的切线，

即直线l是⊙M的切线；

第3题解图

解法二：

如解图，过点M作MG⊥OA于点G，

∵M（－1，2），

∴MG＝1，AG＝2，

∴tan∠MAG＝＝，

∵OB＝8，

∴tan∠ABO＝＝，

∵∠MAG与∠ABO均为锐角，

∴∠MAG＝∠ABO，

∵∠ABO＋∠OAB＝90°

∴∠MAG＋∠OAB＝90°

，即∠MAB＝90°

∵AM为⊙M的半径，

∴直线l是⊙M的切线；

解法三：

如解图，连接AM并延长，交x轴于点H，则H也是⊙M与x轴的交点，且AH为直径，

∵M是⊙M的圆心，

∴AH＝2MA＝2＝2，

∴HO＝＝2，

∴H的坐标为（－2，0），则HB＝10，

又∵AB＝＝4，

∴HB2＝AH2＋AB2，

又∵M是⊙M的圆心，MH是⊙M的直径，

（3）解：

存在，点P的坐标为（，），△PEF面积的最小值为.

理由如下：

∵PF∥y轴，且∠PEF＝∠AOB＝90°

∴∠OAB＝∠EFP，

∴∠EPF＝∠ABO，

∵OA＝4，OB＝8，

∴AB＝＝4，

sin∠EPF＝sin∠ABO＝＝，

cos∠EPF＝cos∠ABO＝＝，

∴S△PEF＝（PF·

sin∠EPF）·

（PF·

cos∠EPF）＝PF2.

∵点P在抛物线上，设P（m，－m2－m＋），PF∥y轴，点F在直线y＝－x＋4上，

∴F（m，－m＋4），

∴PF＝－m＋4－（－m2－m＋）＝（m－）2＋，

∴当m＝时，PF有最小值，PF最小值为，

将PF＝，代入S△PEF＝PF2中，解得S△PEF＝，

此时将m＝－代入－m2－m＋＝，

即P（，）．

4.解：

（1）把A（－3，0），B（9，0），C（0，4）代入y＝ax2＋bx＋c中，

得，

∴二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋4，

∵CD⊥y轴，C（0，4），

∴－x2＋x＋4＝4，

解得x1＝0，x2＝6，

∴点D的坐标为（6，4）；

（2）∵－＝－＝3，

＝＝，

∴顶点F的坐标为（3，），

如解图①，设CD与对称轴l的交点为H，CD与A1F的交点为G，

由平移的性质得FO1＝OC＝4，A1O1＝AO＝3，FH＝－4＝.

第4题解图①

∵CD垂直于y轴，

∴GH∥x轴，

又∵Rt△A1O1F由Rt△AOC平移得到，

∴A1O1∥AO∥GH，

∴△FA1O1∽△FGH，

∴＝，即＝，

∴GH＝1，

∴S四边形A1O1HG＝S△FA1O1－S△FGH＝×

3×

4－×

1×

＝；

（3）当0＜t≤3时，如解图②，设O2C2与OD交于点K，则OO2＝t，△OO2K∽△OED，

∴KO2＝t，

∴S＝S△OO2K＝OO2·

KO2＝×

t×

t＝t2（0＜t≤3）；

第4题解图②

当3＜t≤6时，如解图③，设A2C2与OD交于点M，O2C2交OD于点N，

第4题解图③

作MG⊥CD于点G，延长GM交x轴于点H，则GH⊥x轴．

易知△C2MD∽△A2MO，△DMG∽△OMH，△ODE∽△ONO2，C2D＝6－t，OA2＝t－3，O2O＝t，GH＝4，

∴＝＝，＝，

∴＝，＝，

∴MH＝，NO2＝t，

∴S＝S四边形A2O2NM＝S△OO2N－S△OA2M

＝×

t－（t－3）×

＝t2－t2＋4t－6

＝－t2＋4t－6（3＜t≤6）．

∴S与t之间的函数表达式为

S＝.