三二元函数的全微分求积.docx

1、三二元函数的全微分求积 第十一章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用讲义要求：掌握格林公式 会运用平面积分与路径无关的条件 会求全微分的原函数重点：格林公式及其应用难点：各种不同情况下的计算一格林公式单连通与复连通区域：设D为平面区域，如果D内任一曲线所围的部分都属于D，称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。 对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边。区域D的边界曲线L的方向：定理1. 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶连续偏导数，则有。其中L是D的取正向的边界曲线

2、。简要证明：仅就D即是X-型又是Y-型的情形进行证明。设D=(x,y)| 。因为 连续，所以由二重积分的计算法有。另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有因此设D=(x,y)| 。类似地可证由于即是X-型又是Y-型的，所以以上两式同时成立，两式合并即是。应注意的问题，对复连通区域，格林公式右端包括沿区域的全部边界曲线积分，且边界的方向对区域来说都是正向。设区域的边界曲线，去，则由格林公式得，例.椭圆，所围成图形的面积。分析：只要就有解：设是由椭圆，所围成的区域。令 则 于是由格林公式 例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明 证 令P2xy Qx2 则 因此 由格林公式有例3 计算 其中

3、D是以O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形闭区域 分析 要使 只需P0 解 令P0 则 因此 由格林公式有 例4 计算 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 解 令 则当x2y20时 有 记L 所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 由格林公式得 当(0 0)D时 在D内取一圆周l x2y2r 2(r0) 由L及l围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得 其中l的方向取逆时针方向 于是2 二平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关 设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个

4、点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2 等式 恒成立 就说曲线积分在G内与路径无关 否则说与路径有关 设曲线积分在G内与路径无关 L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线 则有 因为 所以有以下结论 曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零 定理2 设开区域G是一个单连通域 函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式在G内恒成立 充分性易证 若 则 由格林公式 对任意闭曲线L 有 必要性 假设存在一点M0G 使 不妨设0 则由的连续性 存在M0的一个

5、邻域U(M0, ) 使在此邻域内有 于是沿邻域U(M0, )边界l 的闭曲线积分 这与闭曲线积分为零相矛盾 因此在G内 应注意的问题 定理要求 区域G是单连通区域 且函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立 破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点 例5 计算 其中L为抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 解 因为在整个xOy面内都成立 所以在整个xOy面内 积分与路径无关 讨论 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 问是否一定成立？提示 这里和在点(0 0)不连续 因为当x2y

6、20时 所以如果(0 0)不在L所围成的区域内 则结论成立 而当(0 0)在L所围成的区域内时 结论未必成立 三、二元函数的全微分求积 曲线积分在G内与路径无关 表明曲线积分的值只与起点从点(x0 y0)与终点(x y)有关 如果与路径无关 则把它记为 即 若起点(x0 y0)为G内的一定点 终点(x y)为G内的动点 则u(x y) 为G内的的函数 二元函数u(x y)的全微分为du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy 表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元函数

7、u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理3 设开区域G是一个单连通域 函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dxQ(x y)dy 在G内为某一函数u(x y)的全微分的充分必要条件是等式 在G内恒成立 简要证明 必要性 假设存在某一函数u(x y) 使得duP(x y)dxQ(x y)dy 则有 因为、连续 所以 即 充分性 因为在G内 所以积分在G内与路径无关 考虑函数u(x y) 因为 u(x y) 所以 类似地有 从而du P(x y)dxQ(x y)dy 即P(x y)dxQ(x y)dy是某一函数的全微分 求原函数的

8、公式 例6 验证在右半平面(x0)内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 解 这里 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有 所以在右半平面内是某个函数的全微分 取积分路线为从A(1 0)到B(x 0)再到C(x y)的折线 则所求函数为 问 为什么(x0 y0)不取(0 0)? 例7 验证 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 解 这里Pxy2 Qx2y 因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有 所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折线 则所求函数

9、为 思考与练习 1在单连通区域G内 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数 且恒有 那么：(1)在G内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G内的闭曲线积分是否为零? (3) 在G内P(x y)dxQ(x y)dy是否是某一函数u(x y)的全微分? 2在区域G内除M0点外 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数 且恒有 G1是G内不含M0的单连通区域 那么(1)在G 1内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G 1内的闭曲线积分是否为零?(3) 在G 1内P(x y)dxQ(x y)dy是否是某一函数u(x y)的全微分? 3 在单连通区域G内 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数 但非常简单 那么(1)如何计算G内的闭曲线积分?(2)如何计算G内的非闭曲线积分? (3)计算 其中L为逆时针方向的上半圆周(xa)2y2a 2 y0