四川省资阳市届高三上学期第一次诊断考试数学理试题.docx

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四川省资阳市届高三上学期第一次诊断考试数学理试题

资阳市高中2014级第一次诊断性考试

数学（理工类）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则

（A）（B）

（C）（D）

2．设是虚数单位，则复数的虚部为

（A）（B）4（C）（D）－4

3．“”是“”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

4．函数的图象的一条对称轴方程为

（A）（B）

（C）（D）

5．已知各项均为正数的等比数列满足，，则

（A）4（B）2（C）1（D）

6．已知角α的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，是角α终边上的一点．则的值为

（A）（B）

（C）（D）

7．函数的图象可能是

8．设是等差数列的前项和，若，则

（A）（B）

（C）（D）

9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（参考数据：

，，）

（A）

（B）

（C）

（D）

10．已知等比数列的前n项和为，则下列结论一定成立的是

（A）若，则

（B）若，则

（C）若，则

（D）若，则

11．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且满足，则

（A）（B）

（C）（D）

12．已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则

（A）（B）

（C）（D）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答。

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷、草稿纸上无效。

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知则___________．

14．已知实数x，y满足不等式组则的最大值是___________．

15．已知a，b为正实数，向量，向量，若m∥n，则最小值为___________．

16．已知数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列满足．若对都有成立，则实数的取值范围是___________．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知函数（其中）的最小正周期为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．求函数在上零点．

18．（本小题满分12分）

已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，（其中，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若时，方程有实数根，求实数m的取值范围．

19.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，D是BC边上的一点．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的长.

20.（本小题满分12分）

已知数列的首项，前项和为，且（）.

（Ⅰ）求证：

数列为等比数列；

（Ⅱ）令，求数列的前n项和.

21.（本小题满分12分）

已知函数（其中）.

（Ⅰ）当时，若在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；

（Ⅱ）当时，是否存在实数b，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求b的取值范围，如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）.

请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）过点且与直线平行的直线交于，两点，求.

23．（本小题满分10分）选修4－5：

不等式选讲

已知函数（其中）．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

资阳市高中2014级第一次诊断性考试

数学参考答案及评分意见（理工类）

一、选择题

1.B2.D3.A4.B5.C6.C7.D8.A9.B10.C11.C12.B

二、填空题

13．7；14．6；15．；16．．

三、解答题

17．（Ⅰ）

．

由最小正周期，得．6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，将函数的图象向左平移个单位，

得到图象的解析式，

将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到．

由，得，

故当时，函数的零点为和．12分

18．（Ⅰ）因为是定义在R上的奇函数，

由f（0）＝0得

即a＝－2.4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），当x≥0时，．

当x＜0时，，．

由于是奇函数，则，

故当x＜0时，．6分

当时，，，

由，知，则当时，单调递减，

此时，即．8分

当时，，，由，得，

当时，，当时，，则在上单调递减；在上单调递增．则在处取得极小值，又，，

故当时，．

综上，当时，，

所以实数m的取值范围是．12分

19．（Ⅰ）由，

得，即，

根据正弦定理，，4分

所以，又，

所以．6分

（Ⅱ）在△ADC中，AC＝7，AD＝5，DC＝3，

由余弦定理得，

所以ADC=120°，ADB=60°，9分

在△ABD中，AD=5，B=45°，ADB=60°，

由正弦定理，得，

所以AB=.12分

20．（Ⅰ）由，

当时，，

两式相减，得，可得，4分

又，则，满足，

即是一个首项为2，公比为2的等比数列．6分

（Ⅱ）据（Ⅰ）得.

所以，7分

则

．

令，

则，

所以．

则．10分

所以.12分

21．（Ⅰ）由题x＞0，，.

①当a≤0时，知，则是单调递减函数；

②当a＞0时，只有对于x＞0，不等式恒成立，才能使f（x）为单调函数，只需，解之得，此时a≥1．

综上所述，a的取值范围是．4分

（Ⅱ），其中x＞0，．

（ⅰ）当b≤0时，，于是在（0，+∞）上为减函数，则在[e，e²]上也为减函数，

知＜0恒成立，不合题意，舍去．5分

（ⅱ）当b＞0时，由得．列表得

x

（0，）

（，+∞）

＋

0

－

↗

极大值

↘

6分

①若，即，则在[e，e²]上单调递减，

知，而，

于是＜0恒成立，不合题意，舍去．8分

②若，即，

则在（e，）上为增函数，在（，＋∞）上为减函数，

要使在[e，e²]恒有恒成立，则必有

则所以10分

由于，则，所以．

综上所述，存在实数，使得恒成立．12分

选做题

22．（Ⅰ）由消去参数t，得直线l的普通方程为．

又由得，

由得曲线的直角坐标方程为．5分

（Ⅱ）过点且与直线平行的直线的参数方程为

将其代入得，

则，知，

所以．10分

23．（Ⅰ）当时，即．

①当时，得，解得；

②当时，得，不成立，此时；

③当时，得成立，此时.

综上，不等式的解集为或．6分

（Ⅱ）因为＝，

由题意，

即或,

解得或，即m的取值范围是．10分