高中数学 第一章 导数及其应用 151 曲边梯形的面积 152 定积分学案 苏教版选修22Word文档下载推荐.docx

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②n个小曲边梯形的面积和小于S；

③n个小曲边梯形的面积和大于S；

④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．

3．定积分的几何意义

一般地，定积分的几何意义是，在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的__________（即x轴上方的面积______x轴下方的面积）．

预习交流2

dx＝________.

预习交流3

不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：

（1）xdx__________x2dx；

（2）xdx__________xdx；

（3）dx__________2dx.

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？

请在下列表格中做个备忘吧！

我的学困点

我的学疑点

答案：

预习导引

1．曲边

2．定积分　下限　上限　区间　被积函数　积分变量　被积式

预习交流1：

提示：

①

3．代数和　减去

预习交流2：

1

预习交流3：

（1）＞　

（2）＜　（3）＜

一、利用定积分的定义求曲边梯形的面积

求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x3围成的图形的面积．

思路分析：

利用求曲边梯形面积的步骤求解．

求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线y＝x2＋2x所围成的图形的面积S.

1．求曲边梯形的面积时要按照分割—以直代曲—作和—逼近这四个步骤进行．

2．近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．

3．作和时要用到一些常见的求和公式，例如：

1＋2＋3＋…＋n＝，12＋22＋…＋n2＝等．

二、汽车行驶路程的计算问题

一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v（t）＝t2（单位：

km/h），试计算这辆汽车在0≤t≤2（单位：

h）这段时间内汽车行驶的路程s（单位：

km）．

由v（t）及t＝0，t＝2，v＝0所围成的面积即为汽车行驶的路程，按照求曲边梯形面积的方法求解即可．

某物体做变速直线运动，设该物体在时刻t的速度为v（t）＝7－t2，试计算这个物体在0≤t≤1这段时间内运动的路程s.

把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题，采用方法仍然是分割、以直代曲、作和、逼近，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念．

三、定积分概念的理解及应用

利用定积分的定义计算（x＋2）dx.

根据定积分的定义，按照4个步骤依次进行计算．

用定积分的定义证明：

kdx＝k（b－a）．

用定义法求定积分的四个步骤是：

（1）分割；

（2）以直代曲；

（3）作和；

（4）逼近．其中分割通常都是对积分区间进行等分，以直代曲时通常取区间的左端点或右端点，作和时要注意一些求和公式的灵活运用．

四、定积分的几何意义

用定积分的几何意义求下列各式的值：

（1）（x＋2）dx；

（2）dx；

（3）sinxdx.

画出每个被积函数的图象，根据定积分的几何意义进行计算求解．

1．由定积分的几何意义可知xdx＝__________.

2．用定积分的几何意义计算∫cosxdx＝________.

1.定积分f（x）dx的几何意义是：

介于x＝a，x＝b之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x轴上方部分面积为正，x轴下方部分的面积为负．

2．利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题，另外，结合图形可以更直观形象地辅助作题．

1．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为__________．

2．＝________.

3．（n＋1）＝________.

4．已知f（x）dx＝6，则6f（x）dx＝________.

5．由定积分的几何意义可知dx＝________.

6．利用定积分的定义求抛物线y＝x2＋1与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.

用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.

知识精华

技能要领

活动与探究1：

解：

（1）分割

如图，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[1,2]等分成n个小区间：

，，…，，…，，每个小区间的长度为Δx＝－＝，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.

（2）以直代曲

取各小区间的左端点ξi，用ξi3为一边长，以小区间长Δx＝为其邻边长的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξi3·

Δx＝3·

（i＝1,2,3，…，n）．

（3）作和

因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD的面积S的近似值，即S＝Si≈3·

.①

（4）逼近

当分点数目愈多，即Δx愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S.因此，n→∞即Δx→0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积．

∵3·

＝（n＋i－1）3

＝（n－1）3＋3（n－1）2i＋3（n－1）i2＋i3]

＝，

当n→∞时，S＝3·

＝1＋＋1＋＝.

迁移与应用：

在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分为n个小区间：

，，，…，，记第i个区间为（i＝1,2，…，n），其长度为Δx＝－＝.

分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形（如图），它们的面积记作：

ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝Si.

记f（x）＝x2＋2x，当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f（x）的值变化很小，不妨用f来近似地作为f（x）在该区间上的函数值．从图形上看就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间上，用小矩形的面积ΔSi′近似地代替ΔSi，则有ΔSi≈ΔSi′＝f·

Δx＝.

小曲边梯形的面积和Sn＝Si≈Si′

＝

＝＋

＝＋.

分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有＋→S.而当n→∞时，S→.

即由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线y＝x2＋2x所围成的图形的面积约等于.

活动与探究2：

（1）分割：

在区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将区间分成n个小区间：

，，…，，记第i个小区间为（i＝1，2，…，n），Δt＝，则汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作Δs1，Δs2，Δs3，…，Δsn，有sn＝Δsi.

（2）以直代曲：

取ξi＝（i＝1,2，…，n）．

∴Δsi≈v·

Δt＝·

2·

Δt

＝·

·

i2（i＝1,2，…，n）．

（3）作和：

si＝

＝（12＋22＋32＋…＋n2）

.

（4）逼近：

n→∞时，上式→，

故这段时间内汽车行驶的路程s约为km.

将区间[0,1]等分成n个小区间：

，，…，，…，，每个小区间的长度为Δt，Δt＝.

取ξi＝（i＝1,2，…，n），则物体在每个时间段内运动的路程Δsi≈v（ξi）·

Δt＝，i＝1，2，…，n.

sn＝si＝

＝7－.

当n→∞时，7－→.

所以这个物体在0≤t≤1这段时间内运动的路程约为.

活动与探究3：

令f（x）＝x＋2.

①分割：

将区间[2,3]平均分为n等份，Δxi＝.

[xi－1，xi]＝（i＝1,2，…，n）．

②以直代曲：

取ξi＝xi＝2＋（i＝1,2，…，n），

则f（ξi）＝2＋＋2＝4＋.

③作和：

（ξi）Δxi＝·

＝＝n·

＋

＝4＋.

④逼近：

当n→∞时，4＋→.

故（x＋2）dx＝.

证明：

令f（x）＝k，

用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间[xi－1，xi]（i＝1,2，…，n），在每个小区间上任取一点ξi（i＝1,2，…，n），

作和式（ξi）Δx＝·

＝k（b－a）．

当n→∞时，kdx＝·

活动与探究4：

（1）（x＋2）dx的几何意义是指由直线y＝x＋2，x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形的面积．这里围成的是一个直角梯形，其面积为S＝（1＋3）×

2＝4，故（x＋2）dx＝4.

（2）被积函数y＝表示的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆，由定积分的几何意义知定积分计算的是半圆的面积，所以有dx＝＝2π.

（3）函数y＝sinx在区间[－π，π]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，由在x轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即sinxdx＝0.

1．　解析：

xdx＝（1＋2）×

1＝.

2．0　解析：

由函数y=cosx，x∈[0,2π]的图象的对称性（如图）知，cosxdx=0.

当堂检测

每个小区间长度为＝.

2．

3．40　解析：

（n＋1）＝1×

2＋2×

3＋3×

4＋4×

5＝40.

4．36　解析：

6f（x）dx＝6f（x）dx＝6×

6＝36.

5．　解析：

定积分表示圆x2＋y2＝1面积的，

即dx＝.

6．解：

在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：

，，…，.

记第i个区间为（i＝1,2，…，n），其长度为Δx＝－＝.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：

ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.则S＝Si.

记f（x）＝x2＋1.当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f（x）＝x2＋1的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f.就是用平行于x轴的直线段近似地