苏教版数学选修11第3章 章末分层突破Word文档下载推荐.docx

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故所求切线方程为y－（－1）＝x－1或y－＝－·

，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

[再练一题]

1.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝2处取得极值，并且它的图象与直线y＝－3x＋3在点（1,0）处相切，则函数f（x）的表达式为________.

【解析】　f′（x）＝3x2＋2ax＋b.∵f（x）与直线y＝－3x＋3在点（1,0）处相切，

∴即

∵f（x）在x＝2处取得极值，∴f′

（2）＝12＋4a＋b＝0.③

由①②③解得∴f（x）＝x3－3x2＋2.

【答案】　f（x）＝x3－3x2＋2

利用导数研究函数的单调性

1.求函数的单调区间应先确定函数的定义域，利用f′（x）＞0，f′（x）＜0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点.

2.求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：

（1）f′（x）＝0有无根，

（2）f′（x）＝0根的大小，（3）f′（x）＝0的根是否在定义域内.另外当f′（x）＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.

3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：

①转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f′（x）≥0（或≤0）恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使f′（x）＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令f′（x）＞0（或＜0）求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围.

　已知函数f（x）＝x3－ax－1.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）在R上为增函数，求实数a的取值范围.

【精彩点拨】　

（1）求出f′（x），讨论f′（x）＝0的根是否存在，求函数的单调区间；

（2）根据题意有f′（x）≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，分离参数后可求实数a的取值范围.

【规范解答】　

（1）f′（x）＝3x2－a.

①当a≤0时，f′（x）≥0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数.

②当a＞0时，令3x2－a＝0得x＝±

；

当x＞或x＜－时，f′（x）＞0；

当－＜x＜时，f′（x）＜0.

因此f（x）在，上为增函数，在上为减函数.

综上可知，当a≤0时，f（x）在R上为增函数；

当a＞0时，f（x）在，上为增函数，在上为减函数.

（2）因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，所以f′（x）＝3x2－a≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，

即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.

又因为a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，f（x）＝x3－1在R上是增函数，

所以a≤0，即a的取值范围为（－∞，0].

2.设函数f（x）＝x2＋ex－xex.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若当x∈[－2,2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围.

【解析】　

（1）函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f′（x）＝x＋ex－（ex＋xex）＝x（1－ex）.

若x＜0，则1－ex＞0，所以f′（x）＜0；

若x＞0，则1－ex＜0，所以f′（x）＜0；

若x＝0，则f′（x）＝0.

∴f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，即f（x）的单调减区间为（－∞，＋∞）.

（2）由

（1）知f（x）在[－2,2]上单调递减，

∴f（x）min＝f

（2）＝2－e2.

∴当m<

2－e2时，不等式f（x）＞m恒成立.即实数m的取值范围是（－∞，2－e2）.

利用导数研究函数的极值和最值

1.利用导数研究函数极值的一般流程

2.求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：

（1）求函数在（a，b）内的极值；

（2）求函数在区间端点的函数值f（a），f（b）；

（3）将函数f（x）的极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

3.注意事项：

（1）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.

（2）解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′（x）＝0时的情况；

区分极值点和导数为0的点.

　已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线为l：

3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f（x）有极值.

（1）求a，b，c的值；

（2）求y＝f（x）在[－3,1]上的最大值和最小值.

【精彩点拨】　

（1）利用f′

（1）＝3、f′＝0、f

（1）＝4构建方程组求解；

（2）令f′（x）＝0→列表→求极值和区间端点的函数值→

比较大小→得最大值和最小值

【规范解答】　

（1）由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′（x）＝3x2＋2ax＋b.

当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①

当x＝时，y＝f（x）有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②

由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f

（1）＝4.

所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.

（2）由

（1）可得f（x）＝x3＋2x2－4x＋5，f′（x）＝3x2＋4x－4.令f′（x）＝0，解得x1＝－2，x2＝.

当x变化时，f′（x），f（x）的取值及变化情况如下表所示：

x

－3

（－3，－2）

－2

1

f′（x）

＋

－

f（x）

8

13

4

由表可知，函数y＝f（x）在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.

3.已知函数f（x）＝x3－x2＋cx＋d有极值.

（1）求c的取值范围；

（2）若f（x）在x＝2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2＋2d恒成立，求d的取值范围.

【解】　

（1）∵f（x）＝x3－x2＋cx＋d，∴f′（x）＝x2－x＋c，要使f（x）有极值，

则方程f′（x）＝x2－x＋c＝0有两个实数解，从而Δ＝1－4c＞0，∴c＜.

（2）∵f（x）在x＝2处取得极值，∴f′

（2）＝4－2＋c＝0，∴c＝－2.∴f（x）＝x3－x2－2x＋d.

∵f′（x）＝x2－x－2＝（x－2）（x＋1），∴当x∈（－∞，－1）时，f′（x）＞0，函数单调递增，

当x∈（－1,2]时，f′（x）＜0，函数单调递减.∴x＜0时，f（x）在x＝－1处取得最大值＋d，

∵x＜0时，f（x）＜d2＋2d恒成立，∴＋d＜d2＋2d，即（d＋7）（d－1）＞0，

∴d＜－7或d＞1，即d的取值范围是（－∞，－7）∪（1，＋∞）.

分类讨论思想

利用分类讨论思想解答问题已成为高考中的热点问题，尤其是函数、导数中的解答题，在含参数的问题中，无论是研究单调性，还是极值、最值，一般都需要分类讨论.

　已知函数f（x）＝x－ln（x＋a）的最小值为0，其中a＞0.

（1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[0，＋∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值.

【精彩点拨】　

（1）求出函数f（x）的最小值用a表示解方程可得a的值；

（2）构造函数g（x）＝f（x）－kx2，分类讨论求其在[0，＋∞）的最大值，使其最大值≤0可得k的取值范围，即得其最小值.

【规范解答】　

（1）f（x）的定义域为（－a，＋∞）.f′（x）＝1－＝.

由f′（x）＝0，得x＝1－a＞－a.当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

（－a,1－a）

1－a

（1－a，＋∞）

f′（x）

↘

极小值

↗

因此，f（x）在x＝1－a处取得最小值，故由题意f（1－a）＝1－a＝0，所以a＝1.

（2）当k≤0时，取x＝1，有f

（1）＝1－ln2＞0，故k≤0不合题意.

当k＞0时，令g（x）＝f（x）－kx2，即g（x）＝x－ln（x＋1）－kx2.

g′（x）＝－2kx＝.

令g′（x）＝0，得x1＝0，x2＝＞－1.

①当k≥时，≤0，g′（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，

因此g（x）在[0，＋∞）上单调递减.从而对于任意的x∈[0，＋∞），总有g（x）≤g（0）＝0，即f（x）≤kx2在[0，＋∞）上恒成立.故k≥符合题意.

②当0＜k＜时，＞0，对于x∈，g′（x）＞0，

故g（x）在内单调递增，因此当取x0∈时，

g（x0）＞g（0）＝0，即f（x0）≤kx不成立.故0＜k＜不合题意.

综上，k的最小值为.

4.设函数f（x）＝aex＋＋b（a＞0）.

（1）求f（x）在[0，＋∞）内的最小值；

（2）设曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝x，求a，b的值.

【解】　

（1）f′（x）＝aex－，

当f′（x）＞0，即x＞－lna时，f（x）在（－lna，＋∞）上单调递增；

当f′（x）＜0，即x＜－lna时，f（x）在（－∞，－lna）上单调递减.

①当0＜a＜1时，－lna＞0，f（x）在（0，－lna）上单调递减，在（－lna，＋∞）上单调递增，从而f（x）在[0，＋∞）上的最小值为f（－lna）＝2＋b;

②当a≥1时，－lna≤0，f（x）在[0，＋∞）上单调递增，

从而f（x）在[0，＋∞）上的最小值为f（0）＝a＋＋b.

（2）依题意f′

（2）＝ae2－＝，解得ae2＝2或ae2＝－（舍去），所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝，故a＝，b＝.

1.已知函数f（x）＝ax3＋x＋1的图象在点（1，f

（1））处的切线过点（2,7），则a＝________.

【解析】　先用“导数法”求出切线方程，然后代入点（2,7）求出a的值.

∵f′（x）＝3ax2＋1，

∴f′

（1）＝3a＋1.

又f

（1）＝a＋2，

∴切线方程为y－（a＋2）＝（3a＋1）（x－1）.

∵切线过点（2,7），∴7－（a＋2）＝3a＋1，解得a＝1.

【答案】　1

2.已知函数f（x）＝（2x＋1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为________.

【导学号：

24830093】

【解析】　因为f（x）＝（2x＋1）ex，

所以f′（x）＝2ex＋（2x＋1）ex＝（2x＋3）ex，

所以f′（0）＝3e0＝3.

【答案】　3

3.函数f（x）＝（x≥2）的最大值为_