九年级数学第9讲几何问题探究与中点相关问题教案Word格式文档下载.docx

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利用中线倍长法构造全等三角形解决问题.

教学过程

一、课堂导入

几何在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的探究问题占到20%到30%的比重。

主要考查了图形的一些基本性质，借助图形的变换（平移变换、旋转变换、轴对称变换、相似变换）进行线段和角的一些相关问题的探讨，主要考查了学生的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力。

解决几何综合问题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧“模型间的关联，明确努力方向，才能进一步探究综合问题。

注重对基本模型及辅助线的积累是非常必要的。

二、复习预习

三角形中线的定义：

三角形顶点和对边中点的连线。

三角形中线的相关定理：

1.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

2.等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）。

中线中位线相关问题（涉及中点的问题）

见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见。

三、知识讲解

考点1三角形的中位线

1.三角形中位线的定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2.三角形中位线的定理：

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。

3.中位线判定定理：

经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边。

考点2全等三角形的概念及其性质

1.定义：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2.性质定理：

（1）全等三角形的对应角相等。

（2）全等三角形的对应边相等。

（3）能够完全重合的顶点叫对应顶点。

（4）全等三角形的对应边上的高对应相等。

（5）全等三角形的对应角的角平分线相等。

（6）全等三角形的对应边上的中线相等。

（7）全等三角形面积和周长相等。

（8）全等三角形的对应角的三角函数值相等。

考点3全等三角形的解题技巧

一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

因此我们可以来采用逆向思维的方式，要想证明全等，需要什么条件。

例如：

要想证明某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等，然后把所得到的等式运用（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）证明三角形全等，有时还需要辅助线。

分析完毕后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象，同时注意隐含的条件。

四、例题精析

考点一倍长中线问题

例1如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF，求证：

AC=BE．

例2如图所示，△OAB，△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°

.

（1）如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：

OM⊥BC.

（2）如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转α（α为锐角），M为线段AD的中点.

①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系？

写出并证明你的结论；

②OM⊥BC是否仍然成立?

若成立，请证明；

若不成立，请说明理由.

考点二构造中位线问题

例3如图，在△ABC和△PQD中，AC=kBC，DP=kDQ，∠C=∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连结EQ交PC于点H．猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想．

例4如图，在△ABC和△DAE中，AB=kAC，AD=kAE（k>

1）且∠BAC=∠DAE=α，H为BC的中点，G为ED的中点，F为CD的中点，连结FG，FH，请探究FH与FG的关系，并证明你的结论。

说明：

如果你经过反复探索没有解决问题，可以选取

（1）

（2）中的一个条件完成你的探究

（1）k=1；

（2）点D在BA上，点E在AC上。

考点三证明中点问题

例5如图，△ABC≌△BDE，M、M′分别为AB、DB中点，直线MM′交CE于K．

试探索CK与EK的数量关系．

考点四与直角三角形斜边中点相关问题

例6如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°

，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．

（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；

（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问

（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问

（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由。

课程小结

本节课主要研究了与中点相关的问题，如若遇到一个中点，可先考虑倍长中线，注意二次全等问题；

如若遇到多个中点，可先考虑尝试中位线，当然倍长中线也可以尝试考虑；

如若遇到直角三角形和中点同时出现，那么一定要记得“直角三角形斜边的中线是等于斜边一半“的这条性质。

几何问题的探究，是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。

例1【规范解答】延长到，使，连结

∵，，

∴

∴．

又∵，∴

∴，∴．

【总结与反思】作倍长AD，得到，可以把AC转移到△BDG中，利用等腰的性质得到两边相等。

例2【规范解答】1、证明：

∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝90°

∴△AOD≌△BOC，∴∠OAD＝∠OBC，∵M是AD中点，∴OM＝AM，∴∠OAD＝∠MOA，

∴∠OBC＝∠MOA∵∠MOA+∠MOB＝∠AOB＝90°

，∴∠OBC+∠MOB＝90°

∴∠BMO＝180°

-90°

＝90°

，∴OM⊥BC。

2、结论：

BC＝2OM,OM⊥BC。

延长OM至E，使OM＝EM，连接AE，又AM＝DM，∠AME＝∠DMO

∴△AME≌△DMO，∴AE＝DO，∠EAM＝∠ODM

∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，

∴OA＝OB，①OD＝OC，∠AOB＝∠DOC＝90°

∴AE＝OC。

②

∵∠OAE＝∠OAD+∠EAM＝＝∠OAD+∠ODM＝180°

-∠AOD

∠BOC＝∠AOB+∠COD-∠AOD＝90°

+90°

-∠AOD＝180°

∴∠OAE＝∠BOC，③

由①②③可得，△OAE≌△BOC，∴OE＝BC，∠AOE＝∠OBC，

∵OE＝2OM，∴BC＝2OM。

延长BC交OE于F，∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝90°

，∴

∠OBC+∠BOE＝90°

∴∠BFO＝180°

，∴OE⊥BF

即OM⊥BC。

【总结与反思】

（1）根据等腰直角三角形的性质，可证△AOD≌△BOC，根据全等三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质即可证明OM⊥BC;

（2）延长OM至E，使OM＝EM，连接AE，先证明△AME≌△DMO，再证明△OAE≌△BOC即可证明BC＝2OM，延长BC交OE于F，推导出∠BFO=90°

，即可证明OM⊥BC.

例3【规范解答】证明：

取BC中点M，连接DE，DM∵D、E分别是AB、AC的中点

∴DM=AC且DM∥AC,DE=BC且DE∥BC，∴∠C=∠MDE

又∵∠PDQ=∠C，∴∠PDQ=∠C，又∵∠PDQ+∠QDM=∠MDE+∠QDM，∴∠PDM=∠QDE

又∵AC=kBC，∴DM=kDE，又∵DP=kDQ，∴△PDM∽△DQE，∴∠DEQ=∠DMP，

又∵DE∥BC，DM∥AC，∴∠DEQ=∠EHC,∠DMP=∠C，∴∠EHC=∠C，

∴EH=EC=AC

【总结与反思】本题中出现了两个中点，由所给信息，运用中位线的知识我们可以构造出△PDM∽△DQE，从而得到角的关系，便可以证明EH与AC的数量关系了。

例4【规范解答】证明：

连接BD、CE

∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE

即∠BAD=∠CAE

又∵AB=kAC,AD=kAE，∴△ACE∽△ABD，∴BD=kCE

又∵H为BC的中点，G为ED的中点，F为CD的中点，

∴HF=BD,FG=CE

∴HF=kFG

【总结与反思】本题要我们探究FH与FG的关系，观察图形及所给的已知信息，我们可以首先考虑尝试运用中位线，连接BD，CE，要探究FH与FG的关系便可以转化为探究BD及CE的关系，我们可以通过证明△ACE∽△ABD便可以得到BD及CE的关系，同样就可以得知FH与FG的关系了。

例5【规范解答】CK与EK的数量关系为相等，理由如下：

延长MK到N，使得NK=MM′，连接EM′、CM、EN，如图，

可得NK+KM′=MM′+M′K，即NM′=MK，∵△ABC≌△BDE，M、M′分别为AB、DB中点，

∴EM′=CM，BM′=BM，∠EM′D=∠CMB，由BM′=BM得：

∠BM′M=∠BMM′=∠KM′D，

∴∠NM′E=∠CMK，在△EM′N和△CMK中，NM′=MK，∠NM′E=∠CMK，EM′=CM，

∴△EM′N≌△CMK，（SAS）∴CK=EN，∠N=∠CKM=∠NKE，∴EK=EN，∴CK=EK．

【总结与反思】由已知条件不能得到相关条件，可作辅助线，延长MK到N，使得NK=MM′，连接EM′、CM、EN，再根据辅助条件证明△EM′N≌△CMK即可．

例6【规范解答】

（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE；

（2）

（1）中的结论仍然成立．如图2，连接CF，延长EF交CB于点G，

∵∠ACB=∠AED=90°

，∴DE∥BC，∴∠EDF=∠GBF，又∵∠EFD=∠GFB，DF=BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF=GF，BG=DE=AE，∵AC=BC，∴CE=CG，∴∠EFC=90°

，CF=EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF=45度，∴CE=FE；

（3）

（1）中的结论仍然成立．如图3，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，

∵DF=BF，∴FM∥AB，且FM=AB，∵AE=DE，∠AED=90°

，∴AM=EM，∠AME=90°

，

∵CA=CB，∠ACB=90°

∴CN=AN=AB，∠ANC=90°

，∴MF∥AN，FM=AN=CN，∴四边形MFNA为平行四边形，

∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA，∴∠EMF=∠FNC，∴△EMF≌△FNC，∴FE=CF，∠EFM=∠FCN，

由MF∥AN，∠ANC=90°

，可得∠CPF=90°

，∴∠FCN+∠PFC=90°

，∴∠EFM+∠PFC=90°

，∴∠EFC=90°

∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF=45°

，∴CE=FE．

（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，