北京邮电大学版线性代数课后题规范标准答案Word格式.docx

1、2） k3（ 12 3） 0,即（k1k2k3）1 （ k2 k3）2 k3 3 0.由17 2 :3线性无关，有k1k30,0.所以k3 0,即 1 :1 2, 1 2 3线性无关.7作一个以（1 , 0, 1 , 0）和（1 , -1 , 0, 0）为行向量的秩为4的方阵. 解：因向量（1,0,0,0）与（1,0,1,0 ）和（1,-1,0,0）线性无关， 所以（1,0,0,0）可作为方阵的一个行向量，因 （1,0,0,1）与（1,0,1,0），（ 1，-1，0，0），（ 1，0，0，10 101 1 0 010 0 0.所以方阵可为0）线性无关，所以（1,0,0,1）可作为方阵的一个行向

2、量【证明】若线性相关，且不妨设2丄，t（t 2 3）ab ,b0 0a 2而R（A）=2,要使 R（A）= R（B）=2,需a2=0,即a=2,又C （ 1, 2 , 3, 3）2 ,0 b要使3可由2，3线性表出，需ba 1 = （6 , 4 ,a 1 = （1 , -1 ,2, 4） , a 2= （0 , 3 ,1 , 2） , a 3 = （3 , 0 , 7 , 14） , a 4 = （1 , -1 , 2, 0）, a 5=（2 , 1 , 5 , 6）.把向量组作为列向量组成矩阵A，应用初等行变换将A化为最简形矩阵B,则111810959 B可知：R（A ）=R（B） =2,B

3、的第1 ,2列线性无关，由于A的列向量组与B的对应的列向量有相同的线性组合关系，故与无关组B对应的A的第1 , 2列线性无关，即a 1,a 2是该向量组的一个极大（2）同理,可知 R（ A ）=R（B）=4,可知,a 1, a 2为向量组的一个极大无关组670 -1 1 551 2 -9 040 48 400 - 11 55 72 -90 -8 40 13 -65 -15 -10 5 -15 -4 228 40 10 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 0 B0 0 0 11 03 1 21 0 3 1 2-1 30 -1 10 33 0 31 0 10 1 1 0 12 17

4、2 50 -4 -40 0 0 1 14 214 0 60 22 -4 -20 0 0A的4个列向量线性无关，即a 1, a 2, a 3, a 4是该向量组的极大无关组同理,可知R（ A ）=R（B）=3,取线性无关组a1, a 3, a 5为该向量组的一个极大无关组X2X即X1=2,x 2=-1, 令 a 4=X 3 a 1 +X 4 a 2,即X1 = 1,X 2=3, 令 a 5=X 5 a 1 +X 6 a 2,%即X1=-2,X 2=-1,所以 a 3=2 a 1- a 2可得:a 4 = a 1+3 a 2, a 5=-2a 1 - a 2m能经1，2丄，S线性表出13.设向量组

5、1，2丄，m与1，2丄，s秩相同且1，2 证明1， 2丄，m与1， 2丄,s等价.【解】设向量组1 , 2, L , m1 , 2,L , s的极大线性无关组分别为1 , 2丄，r1 , 2 丄，r由于（1 ）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性 表出，即ri aij j （i 1,2,L , r）.j 1因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|工0，可由（*）解出j（j 1,2丄，r） 即（4）可由（3 ）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（ 1 ），（ 2）等价，所以（1 ）和（2）等价.14.设向量组a 1, a 2,a

6、s的秩为1,向量组B 1, 3 2,3 t的秩为2,向量组a 1, a 2,a s, 3 1, 3 2,3 t的秩为r3,试证：maxr 1 ,2w r3 n+r 2.证明：设a s1,，Sr1为a 1, a 2,，a s的一个极大线性无关组，3 t1, 3 t2,tr2为3 1,3 2,3 t的一个极大线性无关组.1，r3为a 1, a 2,，a s,3 1 , 3 2,，3 t的一个 极大线性无关组，则a s1,，1和3 t1，3 tr2可分别由1 1，r3线性表示，所以，rK r3, r2 r3即 maxr 1,r2w r3，又1 1,， r3 可由 a s1,，a sr1 , 3 t1

7、，3 tr2线性表示及线性无关性可知：r3 w门+r 2.15.已知向量组 a 1=（1,a,a,a） , a 2=（a,1,a,a） , a 3=（a,a,1,a） , a 4=（ a,a,a,1）的秩为 3,试确 定a的值.解:以向量组为列向量，组成矩阵A，用行初等变换化为最简形式：a a3a a aa-11 a 0 01-a 00 1- a0 0 1-0 1-由秩A=3.可知a丰1,从而1+3 a=0，即a=- 3 .16.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组2531174375945313254134“、25322048 ；,c、1（2）（2）矩阵的行向量组 4的一个极大无关组为 j 2 4.17.集合Vl = （Xl,x2丄,Xn） | Xi,X2丄，xn R且Xl x2 L Xn =。是否构成向量空间？为什么？【解】由（0,0,0） V1 知 V1 非空，设（X1,X2 丄，Xn） （y1,y2 丄，yn） V2,k R）则（X1 %,X2y2,L,xnyn）（k,kx2 丄，kx:n）.因为