离散数学有大题汇编Word格式文档下载.docx

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12、（B）。

为有向图，为的邻接矩阵，则。

、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５

、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５

13、（C）。

在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。

A、B、C、D、

14、（C）。

任意平面图最多是（）色的。

A、3B、4C、5D、6

15、（A）。

对与10个结点的完全图，对其着色时，需要的最少颜色数为（）。

A、10B、9C、11D、12

16、（C）。

对于任意的连通的平面图，且每个面的次数至少为有，其中，分别为的阶数、边数。

、、

二．判断题

1、（A）。

有向图的关联矩阵要求图是无环图。

（　　）

是某图的度数序列。

3、（A）。

无向连通图的点的连通关系是等价关系（　　）

5、（A）。

V和E分别为无向连通图G1的点割集和边割集.G1-E的连通分支个数为2。

（）

6、（A）。

彼得森图不是哈密尔顿图。

7、（B）。

是平面图。

8、（B）。

设是平面图，若，则它们的对偶图。

9、（A）。

10、（A）。

一个简单图的闭包是汉密尔顿图时，这个简单图是汉密尔顿图。

（）

11、（B）。

平面图中，任何两条边除端点外可以有其他交点。

余树一定是树。

13、（A）。

为无向连通图，是的生成子图，并且是树，则是的生成树。

14、（A）。

是非平凡的无向树，则至少有两片树叶（　　）

15、（B）。

无向树有3个3度、2个2度顶点，其余顶点都是树叶，共有4片树叶。

16、（A）。

无向树有3个3度、2个2度顶点，其余顶点都是树叶，共有5片树叶。

（）

17、（B）。

已知n（n>

=2）阶无向简单树具有n-1条边，他一定是树。

18、（A）。

一个连通无向图中，存在两个结点和，如果结点和的每一条路都通过结点，则结点比为割点。

19、（A）。

一个有向图，如果中有一个回路，至少包含每个结点一次，则是强连通。

20、（A）。

给定图，则关于树的定义是每一对结点之间有且仅有一条路。

21、（A）。

完全叉树是每一个结点的出度等于或0的根树。

22、（A）。

在正则叉树中，所有的树叶层次相同。

23、（B）。

树中分支点的通路长度为外部通路长度。

24、（B）。

树中树叶的通路长度为内部通路长度。

25、（A）。

任何一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。

26、（A）。

任何一个前缀码都对应一棵二叉树。

三．综合题

1.证明:

若图是自对偶的，则.

2.T是一棵树,有两个2度结点，一个3度结点，三个4度结点，T有几片树叶？

解：

设树T有x片树叶，则T的结点数

n=2+1+3+x

T的边数m=n-1=5+x

又由得2·

（5+x）=2·

2+3·

1+4·

3+x

所以x=9，即树T有9片树叶。

3.图所示的赋权图G表示七个城市a,b,c,d,e,f,g及架起城市间直接通讯线路的预测造价。

试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小,并计算出最小造价。

最小生成树为

因此如图TG架线使各城市间能够通讯，且总造价最小，最小造价为：

　Ｗ（Ｔ）＝１＋３＋４＋８＋９＋23＝48

4.求出下所示图的邻接矩阵和可达性矩阵，并找出

。

邻接矩阵

5.求下图的一棵最小生成树.

因为图中n＝8，所以按算法要执行n－1＝7次，其过程见下图中

（1）~（7）。

6.v1到v4,v4到v1长为3的通路各有多少条?

求出下所示图的邻接矩阵和可达性矩阵

v1到v4长为3的通路0条，v4到v1长为3的通路3条。

总复习题二

1、（B）。

设是半群，其中为非空集合，如果是上满足交换律的二元运算，则称为。

、半群、可交换半群、可交换群、域

2、（D）。

设是代数系统，其中为非空集合，如果,+是上的二元运算，则称环

、为半群、为阿贝尔群、乘法对加法适合分配律、满足A、B、C三条

设是环，如果乘法适合交换律，则称环。

、整环、除环、域、交换环

设代数系统是个独异点，对任意，且均有逆元，则为（）。

设代数系统是个独异点，则还需满足（）条件，代数系统为群。

A、运算封闭B、运算可结合C、运算可交换D、每个元素有逆元

6、（B）。

代数系统中，如果存在为等幂元，则（）。

设是个群，是的平凡子群，则=（）。

在群中，对于，必存在，使得，则为（）。

9、（C）。

设代数系统是群，则运算满足（）条件，是阿贝尔群。

判断题

1、（A）。

为独异点，且中任意元素都存在逆元，则为一个群。

2、（A）。

为代数系统，为二元运算，如果是可结合的，且中任意元素都存在逆元，则为一个群。

3、（B）。

为独异点，且中任意元素都存在逆元，则为一个半群。

1.设∘运算为Q上的二元运算，

（1）指出∘运算的性质.

（2）求∘运算的单位元、零元和所有可逆元.

（1）∘运算可交换，可结合.

任取x,y∈Q,

x∘y=x+y+2xy=y+x+2yx=y∘x,

任取x,y,z∈Q,

（x∘y）∘z=（x+y+2xy）+z+2（x+y+2xy）z

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz

x∘（y∘z）=x+（y+z+2yz）+2x（y+z+2yz

（2）设∘运算的单位元和零元分别为e和θ，则对于任

意x有x∘e=x成立，即

x+e+2xe=x⇒e=0

由于∘运算可交换，所以0是幺元.

对于任意x有x∘θ=θ成立，即

x+θ+2xθ=θ⇒x+2xθ=0⇒θ=-1/2

给定x，设x的逆元为y,则有x∘y=0成立，即

x+y+2xy=0⇒（x≠-1/2）

因此当x≠-1/2时，是x的逆元.

2.S=P（{1,2}）,⊕为对称差运算，写出<

s,⊕>

的运算表，并判断此代数系统是一个群。

⊕

∅{1}{2}{1,2}

∅

{1}

{2}

{1,2}

∅{1}{2}{1,2}

{1}∅{1.2}{2}

{2}{1,2}∅{1}

{1,2}{2}{1}∅

3.证明关于gcd,lcm运算构成的布尔代数.

总复习题三

一．证明下列公式等值

（1）┐（p∨q）┐p∧┐q

（2）p→（q→r）⇔（p∧q）→r

（3）（p∨q）→r⇔（p→r）∧（q→r）

（4）（p→q）∧p→q⇔1

二．

（1）求（p→⌝q）∨⌝r公式的析取范式与合取范式以及成真赋值成假赋值。

解（p→⌝q）→r

⇔（p∧q）∨r（析取范式）①

（p∧q）

⇔（p∧q）∧（⌝r∨r）

⇔（p∧q∧⌝r）∨（p∧q∧r）

⇔m6∨m7②

r

⇔（⌝p∨p）∧（⌝q∨q）∧r

⇔（⌝p∧⌝q∧r）∨（⌝p∧q∧r）∨（p∧⌝q∧r）∨（p∧q∧r）

⇔m1∨m3∨m5∨m7③

②,③代入①并排序，得

（p→⌝q）→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7（主析取范式）

（p→⌝q）→r

⇔（p∨r）∧（q∨r）（合取范式）④

p∨r

⇔p∨（q∧⌝q）∨r

⇔（p∨q∨r）∧（p∨⌝q∨r）

⇔M0∧M2⑤

q∨r

⇔（p∧⌝p）∨q∨r

⇔（p∨q∨r）∧（⌝p∨q∨r）

⇔M0∧M4⑥

⑤,⑥代入④并排序，得

（p→⌝q）→r⇔M0∧M2∧M4（主合取范式）

成真赋值为001,011,101,110,111，

成假赋值为000,010,100.

（2）已知命题公式A中含3个命题变项p,q,r，并知道它的成真

赋值为001,010,111,求A的主析取范式和主合取范式，及A对应的真值函数.

A的主析取范式为m1∨m2∨m7

A的主合取范式为M0∧M3∧M4∧M5∧M6

三．构造下面推理的证明：

（1）若明天是星期一或星期三，我明天就有课.若我明天有课，今天必备课.我今天没备课.所以，明天不是星期一、

也不是星期三.

解

（1）设命题并符号化

设p：

明天是星期一，q：

明天是星期三，

r：

我明天有课，s：

我今天备课

（2）写出证明的形式结构

前提：

（p∨q）→r,r→s,⌝s

结论：

⌝p∧⌝q

（3）证明

①r→s前提引入

②⌝s前提引入

③⌝r①②拒取式

④（p∨q）→r前提引入

⑤⌝（p∨q）③④拒取式

⑥⌝p∧⌝q⑤置换

（2）2是素数或合数.若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数.所以，如果4是素数，则2是合数.

解用附加前提证明法构造证明

（1）设p：

2是素数，q：

2是合数，

是无理数，s：

4是素数

（2）推理的形式结构

p∨q,p→r,r→⌝s

s→q

①s附加前提引入

②p→r前提引入

③r→⌝s前提引入

④p→⌝s②③假言三段论

⑤⌝p①④拒取式

⑥p∨q前提引入

⑦q⑤⑥析取三段论

（3）前提：

⌝（p∧q）∨r,r→s,⌝s,p

⌝q

证明用归缪法

①q结论否定引入

②r→s前提引入

③⌝s前提引入

④⌝r②③拒取式

⑤⌝（p∧q）∨r前提引入

⑥⌝（p∧q）④⑤析取三段论

⑦⌝p∨⌝q⑥置换

⑧⌝p①⑦析取三段论

⑨p前提引入

⑩⌝p∧p⑧⑨合取

（4）（P→（Q∨R））∧（┐S→┐Q）∧（P∧┐S）⇒R.

证：

（