高考数学大一轮复习压轴题命题区间三三角函数与平面向量文文档格式.docx
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所以f(x)=2sin.
由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)h(x)=f2(x)+2cos2x
=×
4sin2+2cos2x
=3+(cos2x+1)
=3++3sin2x+cos2x
=3++2sin.
因为h(x)的最小值为3,
令3++2sin=3⇒sin=-.
所以2x+∈,
所以2a+=-,
即a=-.
三角函数和解三角形
[典例] 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,且=.
(1)求A的大小;
(2)当a=时,求b2+c2的取值范围.
[解]
(1)已知在△ABC中,=,
由正弦定理,
得=,
即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
=sin(A+C)=sinB,
所以cosA=,
所以A=60°
.
(2)由正弦定理,
得===2,
则b=2sinB,c=2sinC,
所以b2+c2=4sin2B+4sin2C
=2(1-cos2B+1-cos2C)
=2[2-cos2B-cos2(120°
-B)]
=2[2-cos2B-cos(240°
-2B)]
=2
=4+2sin(2B-30°
).
因为0°
<B<120°
,
所以-30°
<2B-30°
<210°
所以-<sin(2B-30°
)≤1,
所以3<b2+c2≤6.
即b2+c2的取值范围是(3,6].
[方法点拨]
三角函数和三角形的结合,一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角,再代入到三角函数中,三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键.
已知函数f(x)=2cos2x-sin.
(1)求函数f(x)的最大值,并写出f(x)取最大值时x的取值集合;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)=,b+c=2,求实数a的最小值.
(1)∵f(x)=2cos2x-sin
=(1+cos2x)-
=1+sin2x+cos2x
=1+sin.
∴函数f(x)的最大值为2.
要使f(x)取最大值,
则sin=1,
∴2x+=2kπ+,k∈Z,
解得x=kπ+,k∈Z.
故f(x)取最大值时x的取值集合为
(2)由题意知,f(A)=sin+1=,
化简得sin=.
∵A∈(0,π),
∴2A+∈,
∴2A+=,∴A=.
在△ABC中,根据余弦定理,得
a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc.
由b+c=2,知bc≤2=1,
当且仅当b=c=1时等号成立.
即a2≥1.
∴当b=c=1时,实数a的最小值为1.
平面向量
[典例] 若a,b,c均为单位向量,且a·
b=0,(a-c)·
(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( )
A.-1 B.1
C.D.2
[解析] 法一:
(目标不等式法)
因为|a|=|b|=|c|=1,a·
b=0,
所以|a+b|2=a2+b2+2a·
b=2,
故|a+b|=.
展开(a-c)·
(b-c)≤0,
得a·
b-(a+b)·
c+c2≤0,
即0-(a+b)·
c+1≤0,
整理,得(a+b)·
c≥1.
而|a+b-c|2=(a+b)2-2(a+b)·
c+c2
=3-2(a+b)·
c,
所以3-2(a+b)·
c≤3-2×
1=1.
所以|a+b-c|2≤1,
即|a+b-c|≤1,
故|a+b-c|的最大值为1.
法二:
(基向量法)
取向量a,b作为平面向量的一组基底,
设c=ma+nb.
由|c|=1,即|ma+nb|=1,
可得(ma)2+(nb)2+2mna·
b=1,
由题意,知|a|=|b|=1,a·
b=0.
整理,得m2+n2=1.
而a-c=(1-m)a-nb,b-c=-ma+(1-n)b,
故由(a-c)·
得[(1-m)a-nb]·
[-ma+(1-n)b]≤0,
展开,得m(m-1)a2+n(n-1)b2≤0,
即m2-m+n2-n≤0,
又m2+n2=1,
故m+n≥1.
而a+b-c=(1-m)a+(1-n)b,
故|a+b-c|2=[(1-m)a+(1-n)b]2
=(1-m)2a2+2(1-m)(1-n)a·
b+(1-n)2b2
=(1-m)2+(1-n)2
=m2+n2-2(m+n)+2
=3-2(m+n).
又m+n≥1,
所以3-2(m+n)≤1.
故|a+b-c|2≤1,
即|a+b-c|≤1.
法三:
(坐标法)
因为|a|=|b|=1,a·
所以a,b=.
设=a,=b,=c,
因为a⊥b,
所以OA⊥OB.
分别以OA,OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图
(1)所示,
则a=(1,0),b=(0,1),
则A(1,0),B(0,1).
设C(x,y),则c=(x,y),且x2+y2=1.
则a-c=(1-x,-y),
b-c=(-x,1-y),
得(1-x)×
(-x)+(-y)×
(1-y)≤0,
整理,得1-x-y≤0,
即x+y≥1.
而a+b-c=(1-x,1-y),
则|a+b-c|==.
因为x+y≥1,所以3-2(x+y)≤1,
所以|a+b-c|的最大值为1.
法四:
(三角函数法)
因为a⊥b,所以OA⊥OB.
分别以OA,OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
如图
(1)所示,
则a=(1,0),b=(0,1),A(1,0),B(0,1).
因为|c|=1,设∠COA=θ,
所以C点的坐标为(cosθ,sinθ).
则a-c=(1-cosθ,-sinθ),b-c=(-cosθ,1-sinθ),
得(1-cosθ)×
(-cosθ)+(-sinθ)×
(1-sinθ)≤0,
整理,得sinθ+cosθ≥1.
而a+b-c=(1-cosθ,1-sinθ),
则|a+b-c|=
=.
因为sinθ+cosθ≥1,
所以3-2(sinθ+cosθ)≤1,
法五:
(数形结合法)
因为|a|=|b|=|c|=1,
所以点A,B,C在以O为圆心、1为半径的圆上.
易知=a-c,=b-c,|c|=||.
由(a-c)·
可得·
≤0,
则≤∠BCA<π(因为A,B,C在以O为圆心的圆上,所以A,B,C三点不能共线,即∠BCA≠π),
故点C在劣弧AB上.
由a·
b=0,得OA⊥OB,
设=a+b,如图
(2)所示,
因为a+b-c=-=,
所以|a+b-c|=||,
即|a+b-c|为点D与劣弧AB上一点C的距离,
显然,当点C与A或B点重合时,CD最长且为1,
即|a+b-c|的最大值为1.
[答案] B
平面向量具有双重性,处理平面向量问题一般可以从两个角度进行:
(1)利用其“形”的特征,将其转化为平面几何的有关知识进行解决;
(2)利用其“数”的特征,通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决.
1.在△ABD中,AB=2,AD=2,E,C分别在线段AD,BD上,且AE=AD,BC=BD,·
=,则∠BAD的大小为( )
A.B.
C.D.
解析:
选D 依题意,=+=+
=+(-)=+,
=-=-,
所以·
=·
=-||2+||2-·
=-×
22+×
(2)2-·
=,
=-4,
所以cos∠BAD===-,
因为0<∠BAD<π,
所以∠BAD=.
2.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°
.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,则·
的最小值为________.
法一:
(等价转化思想)
因为=,=,
=-=-==,
=+=+λ,
=++=++
=+.
=(+λ)·
=2+λ2+·
4+λ+×
2×
1×
cos120°
=+λ+≥2+=,
当且仅当=λ,
即λ=时,·
的最小值为.
以线段AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
则A(-1,0),B(1,0),C,D,
所以=+=+λ=,
=+=+=,
=+×
λ
=++≥+2=,
答案:
1.(2017·
宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB中,|OA|=|OB|=2,且|+|≥||,那么·
的取值范围是( )
A.[-2,4) B.(-2,4)
C.(-4,2)D.(-4,2]
选A 依题意,(+)2≥(-)2,
化简得·
≥-2,
又根据三角形中,两边之差小于第三边,
可得||-||<||=|-|,
两边平方可得(||-||)2<(-)2,
化简可得·
<4,∴-2≤·
<4.
2.(2017·
江西赣南五校二模)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+且||=||,则向量在方向上的投影为( )
C.-D.-
选A 由2=+可知O是BC的中点,
即BC为△ABC外接圆的直径,
所以||=||=||,由题意知||=||=1,
故△OAB为等边三角形,所以∠ABC=60°
所以向量在方向上的投影为||·
cos∠ABC=1×
cos60°
=.故选A.
3.(2017·
石家庄质检)设α,β∈[0,π],且满足sinαcosβ-cosαsinβ=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为( )
A.[-,1]B.[-1,]