1、所以f(x)2sin由2kx2k(kZ),得2kx2k(kZ)故f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)h(x)f2(x)2cos2x4sin22cos2x3(cos 2x1)33sin 2xcos 2x32sin因为h(x)的最小值为3,令32sin3sin所以2x,所以2a,即a三角函数和解三角形典例已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C的对边,且(1)求A的大小;(2)当a时,求b2c2的取值范围解(1)已知在ABC中,由正弦定理,得,即2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B,所以cos A,所以A60(2)由正弦定理,得2,则b2s
2、in B,c2sin C,所以b2c24sin2B4sin2C2(1cos 2B1cos 2C)22cos 2Bcos 2(120B)22cos 2Bcos(2402B)242sin(2B30)因为0B120,所以302B30210所以sin(2B30)1,所以3b2c26即b2c2的取值范围是(3,6 方法点拨三角函数和三角形的结合,一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角,再代入到三角函数中,三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键已知函数f(x)2cos2xsin(1)求函数f(x)的最大值,并写出f(x)取最大值时x的取值集合;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为
3、a,b,c若f(A),bc2,求实数a的最小值(1)f(x)2cos2xsin(1cos 2x)1sin 2xcos 2x1sin函数f(x)的最大值为2要使f(x)取最大值,则sin1,2x2k,kZ,解得xk,kZ故f(x)取最大值时x的取值集合为(2)由题意知,f(A)sin1,化简得sinA(0,),2A,2A,A在ABC中,根据余弦定理,得a2b2c22bccos(bc)23bc由bc2,知bc21,当且仅当bc1时等号成立即a21当bc1时,实数a的最小值为1平面向量典例若a,b,c均为单位向量,且ab0,(ac)(bc)0,则|abc|的最大值为()A1 B1C D2解析法一:(
4、目标不等式法)因为|a|b|c|1,ab0,所以|ab|2a2b22ab2,故|ab|展开(ac)(bc)0,得ab(ab)cc20,即0(ab)c10,整理,得(ab)c1而|abc|2(ab)22(ab)cc232(ab)c,所以32(ab)c3211所以|abc|21,即|abc|1,故|abc|的最大值为1法二:(基向量法)取向量a,b作为平面向量的一组基底,设cmanb由|c|1,即|manb|1,可得(ma)2(nb)22mnab1,由题意,知|a|b|1,ab0整理,得m2n21而ac(1m)anb,bcma(1n)b,故由(ac)得(1m)anbma(1n)b0,展开,得m(m
5、1)a2n(n1)b20,即m2mn2n0,又m2n21,故mn1而abc(1m)a(1n)b,故|abc|2(1m)a(1n)b2(1m)2a22(1m)(1n)ab(1n)2b2(1m)2(1n)2m2n22(mn)232(mn)又mn1,所以32(mn)1故|abc|21,即|abc|1法三:(坐标法)因为|a|b|1,a所以 a,b 设a,b,c,因为ab,所以OAOB分别以OA,OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图(1)所示,则a(1,0),b(0,1),则A(1,0),B(0,1)设C(x,y),则c(x,y),且x2y21则ac(1x,y),bc(x,1y),得(1
6、x)(x)(y)(1y)0,整理,得1xy0,即xy1而abc(1x,1y),则|abc|因为xy1,所以32(xy)1,所以|abc|的最大值为1法四:(三角函数法)因为ab,所以OAOB分别以OA,OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图(1)所示,则a(1,0),b(0,1),A(1,0),B(0,1)因为|c|1,设COA,所以C点的坐标为(cos ,sin )则ac(1cos ,sin ),bc(cos ,1sin ),得(1cos )(cos )(sin )(1sin )0,整理,得sin cos 1而abc(1cos ,1sin ),则|abc|因为sin cos 1,
7、所以32(sin cos )1,法五:(数形结合法)因为|a|b|c|1,所以点A,B,C在以O为圆心、1为半径的圆上易知ac,bc,|c| |由(ac)可得0,则BCA(因为A,B,C在以O为圆心的圆上,所以A,B,C三点不能共线,即BCA),故点C在劣弧AB上由ab0,得OAOB,设ab,如图(2)所示,因为abc,所以|abc|,即|abc|为点D与劣弧AB上一点C的距离,显然,当点C与A或B点重合时,CD最长且为1,即|abc|的最大值为1答案B平面向量具有双重性,处理平面向量问题一般可以从两个角度进行:(1)利用其“形”的特征,将其转化为平面几何的有关知识进行解决;(2)利用其“数”
8、的特征,通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决1在ABD中,AB2,AD2,E,C分别在线段AD,BD上,且AEAD,BCBD,则BAD的大小为()A BC D解析:选D依题意,(),所以|2|222(2)2,4,所以cosBAD,因为0BAD,所以BAD2在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB2,BC1,ABC60动点E和F分别在线段BC和DC上,且,则的最小值为_法一:(等价转化思想)因为,()22421cos 1202,当且仅当,即时,的最小值为以线段AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(1,0),B(1,0),C,D,所以,2,答案:1(201
9、7宜春中学与新余一中联考)已知等腰OAB中,|OA|OB|2,且|,那么的取值范围是()A2,4) B(2,4)C(4,2) D(4,2选A依题意,()2()2,化简得2,又根据三角形中,两边之差小于第三边,可得|,两边平方可得(|)2()2,化简可得4,242(2017江西赣南五校二模)ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2且|,则向量在方向上的投影为()C D选A由2可知O是BC的中点,即BC为ABC外接圆的直径,所以|,由题意知|1,故OAB为等边三角形,所以ABC60所以向量在方向上的投影为|cosABC1cos 60故选A3(2017石家庄质检)设,0,且满足sin cos cos sin 1,则sin(2)sin(2)的取值范围为()A,1 B1,
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