导数常用的一些技巧和结论Word格式文档下载.docx

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，则

恒成立，所以

在R上递减；

，令

，得

当

时，

，所以

在

上递减；

上递增.

综上，当

上递减，在

（2）

有两个零点，必须满足

，即

，且

构造函数

，

.易得

单调递减.

又因为

下面只要证明当

有两个零点即可，为此我们先证明当

事实上，构造函数

，易得

，∴

其中

和

上各有一个零点.

故

的取值范围是

注意：

取点过程用到了常用放缩技巧。

一方面：

；

另一方面：

（目测的）

常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）

第一组：

对数放缩

（放缩成一次函数）

（放缩成双撇函数）

（放缩成二次函数）

（放缩成类反比例函数）

第二组：

指数放缩

第三组：

指对放缩

第四组：

三角函数放缩

.

第五组：

以直线

为切线的函数

几个经典函数模型

经典模型一：

或

【例1】讨论函数

的零点个数.

时，无零点.

时，1个零点.

（3）当

时，2个零点.

（目测），

，其中

.（放缩）

.（用到了

）

（4）当

，单调递增.

【变式】

（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1：

）：

1.讨论

的零点个数（令

）；

2.讨论

3.讨论

的零点个数（考虑

4.讨论

5.讨论

6.讨论

）.

经典模型二：

【例2】讨论函数

单调递增.

且

，所以在

上有一个零点；

恒成立；

（3）

（4）

（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2：

的零点个数（去分母后与1等价）；

的零点个数（移项平方后与1等价）；

的零点个数（移项开方后换元与1等价）；

的零点个数（乘以系数e，令

，转化成2）

7.讨论

经典模型三：

【例】讨论函数

时，1个零点.

时，1个零点（

（5）

（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3：

1.讨论

的零点个数；

练习题

1.已知函数

2.设函数

，讨论

的导函数

的零点的个数.

3.已知函数

4.已知函数

.当

时，试讨论