北京邮电大学《数字信号处理》习题及答案Word格式.docx
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5.证明
6.设，证明脉冲序列的傅氏变换等于
7.
（a）证明
（b）若f（t）F（Ω），证明
1.下列系统中，y（n）表示输出，x（n）表示输入，试确定输入输出关系是否线性？
是否非移变？
（a）y（n）=2x（n）+3
（b）y（n）=x2（n）
（c）
2.确定下列系统是否因果的？
是否稳定的？
（a）y（n）=g（n）x（n）,g（n）有界
（b）n>
n0
（c）y（n）=x（n-n0）
（d）x（n）=anu（n）,h（n）=u（n）
（e）x（n）=anu（n）,h（n）=（1/2）nu（n）
3.x（n）为输入序列，h（n）为系统的单位取样响应序列，确定输出序列y（n），
（a）如图p2.1（a）所示
（b）如图p2.1（b）所示
（c）如图p2.1（c）所示
4.直接计算卷积和，求序列
的卷积y（n）=x（n）*h（n），并用公式表示它。
5.讨论具有下列单位取样响应的线性时域离散非移变系统。
其中
确定其对如下输入序列的稳态响应（n足够大时的响应）。
x（n）=n{cosnπ}u（n）
6.试确定下列序列的傅氏变换。
（a）x（n）=0.5δ（n+1）+0.5δ（n-1）
（b）x（n）=anu（n）0<
a<
1
（c）x（n）=u（n+3）-u（n-4）
7.令x（n）和X（ejw）表示一个序列及其变换，又假设x（n）为实函数和n<
0时，x（n）=0，利用X（ejw）求下面各序列的变换。
（a）kx（n）k为任意常数
（b）x（n-n0）n0为实整数
（c）g（n）=x（2n）
（d）
8.试确定LSI系统的频率响应H（ejw）及此系统函数倒数1/H（ejw）的单位取样响应h′（n），若此系统的单位取样响应
并证明，h（n）*h′（n）=δ（n）
9.研究如图P2.2所示方框图组成的系统，其中g（x）=ejπax2称为线性调频信号，试证明：
输出是输入函数的傅氏变换（标尺有变化），当输入为门函数时，输出是SinC函数。
图P2.2
10.画出下列z变换的零极点图，指出收敛域。
（a）
（b）
11.求下列z变换的所有可能收敛区间的反变换。
12.若
（a）若|z|>
1，求X（n）。
（b）若|z|<
13.有一离散系统如图P2.3所示，若
求y（n）。
图P2.3
14.（a）试证明，若|a|<
1及x（n）=a|n|，则
（b）若xa（t）=e-a|t|及x（n）=xa（nT）X（z），求X（ejΩT）。
15.若x（t）的傅氏变换为X（jΩ），且x（t）在|Ω|<
π/T内频带受限，试证明：
16.设兔子的寿命为10年且雌雄均等，若初始有两只兔子，每年新生兔子是前一年的两倍，求第n年兔子的总数。
17.已知X（z）=ez+e1/2（z≠0），求x（n）。
18.试确定F（z）=Z*是否代表某个序列的z变换，阐述理由。
19.令x（n）是一因果序列，即n<
0时，x（n）=0，又设x（n）≠0，试证明在z=∞处X（z）没有极点和零点。
20.研究一线性非移变系统，该系统的输入和输出满足差分方程
从下列各项中选取二个满足上系统的单位取样函数。
（a）（b）（c）
（d）（e）（f）
（g）（h）
（i）（j）
21.试利用x（n）的z变换求n2x（n）的z变换。
1、计算下列有限长序列x（n）的DFT，假设长度为N,
（a）x（n）=δ（n）
（b）x（n）=δ（n-n0）0<
n0<
N
（c）x（n）=an0《n《N-1
2、画出x1（n）和x2（n）的波形
x1（n）=x（（n-2））4R4（n）
x2（n）=x（（-2））4R4（n）
x（n）的波形如图P3.1所示。
3、画出如图P3.2所示的两个序列的6点圆周卷积。
图P3.2
4、如果是一个周期为N的周期序列，则它也是周期为2N的周期序列。
把看作周期为N的周期序列，令表示其DFS，再把看作为2N的周期序列，再令表示其DFS，试利用确定。
5、若，求证：
6、已知序列，对其Z变换在单位园上N等分取样，采样值为，求有限序列IDFT[X（k）]。
7、设是周期为N的周期序列，通过系统H（z）以后，求证输出序列为
8、研究两个周期序列和。
的周期为N，的周期为M。
序列定义为
（a）试证明是周期性的，周期为NM。
（b）令的DFS为，的DFS为，试用和求。
9、x（n）表示长度为N的有限长序列，试证明
10、令X（k）表示N点序列x（n）的N点DFT，试证明
（a）如果x（n）满足关系式
x（n）=-x（N-1-n），则X（0）=0
（b）当N为偶数时，如果x（n）=x（N-1-n），则
11、令X（k）表示N点序列x（n）的N点DFT，X（k）本身也是一个N点序列。
如果计算X（k）的DFT得到一序列x1（n），试用x（n）求x1（n）。
12、长度为8的有限序列的8点DFT为X（k），如图P3.3所示。
长度为16的一个新序列定义为
试从图P3.3（b）的几个图中选出相当于y（n）的16点DFT的略图。
图P3.3
13、令有一序列x（n），其长度有限，Z变换为X（z）。
而x1（n）表示长为N的有限长序列，其N点DFT为X1（k），如果X（z）和X1（k）有
式中，试求x（n）和x1（n）之间的关系。
14、研究两个n<
0时等于0的有限长序列x（n）和y（n），且
x（n）=0n》8时
y（n）=0n》20时
将每一序列的20点DFT相乘，然后计算IDFTy（n），试指出Y（n）的哪些点相当于x（n）与y（n）线性卷积中的点。
15、如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100us，每次复加20us，今用来计算N=1024点的DFT，问用直接运算需要多少时间？
用FFT运算需要多少时间？
16、设一序列x（n）的长度N是2的整数方，它的FFT算法，还可通过下面另一种时间抽选法表述来实现。
（1）将x（n）分解成两个N/2点的序列计算X（k），其一是由x（n）的偶数点组成，另一是由x（n）的奇数点组成。
其中
G（k）和H（k）分别是x（n）的偶数点和奇数点的DFT。
（2）G（k）和H（k）是周期为N/2的周期序列，它满足下列关系
（3）X（k）可表达为前后两部分
证明上述结论的正确性，并据此画出8点FFT时间抽选法流图。
17、画出一个N=16点的时间抽选法FFT信号流图。
设输入序列为x（n），其为倒序，输出序列为X（k），其为正序。
18、证明x（n）的IDFT有以下算法
19、设x（n）是一个M点0《n《M-1的有限长序列，其Z变换为
今欲令X（Z）在单位圆上N个等距离点上的采样X（Zk）为
问在（a）N《M
（b）N>
M
两种情况下，如何用一个N点FFT算出全部X（Zk）值来。
20、计算实序列的DFT，讨论几种减少计算量的途径。
（a）令x（n）是N点实序列，令X（k）表示其离散傅氏变换，它的实部和虚部分别以XR（k）XI（k）表示，因此，
X（k）=XR（k）+XI（k）
试证明如果x（n）为实序列，则XR（k）为偶序列，XI（k）为奇序列。
即XR（k）=XR（（N-k））NRN（k）以及XI（k）=-XI（（N-k））NRN（k）
（b）研究两个分别具有DFT变换X1（k）和X2（k）的实序列x1（n）和x2（n），令g（n）是一个复序列，定义g（n）=x1（n）+jx2（n），G（k）为其DFT变换，令GOR（k）、GER（k）、GOI（k）、GBI（k）分别表示G（k）的实部的奇数部分、实部的偶数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分。
试利用GOR（k）、GER（k）、GOI（k）、GBI（k）来表示X1（k）和X2（k）。
（c）假设x（n）是一个N点的实序列，且N可以被2整除。
令x1（n）和x2（n）为两个N/2点序列，其定义为
试利用X1（k）和X2（k）求X（k）。
21、Chirp-Z变换算法的一个用途是使频谱的谐振峰变尖。
一般来说，如果我们在Z平面内靠近极点的一条周线上计算序列的Z变幻，则可指望观察到谐振。
在应用Chirp-Z变换算法时，或在计算DFT时，被分析的序列必须是有限时宽的。
否则必须将序列截断。
截断序列的Z变换只有零点（除z=0，z=∞外），而原始变换的序列却有极点。
试证明，在有限时宽序列的变换中仍可以看到谐振型响应。
（a）令x（n）=u（n），画出它的Z变幻的零极点略图。
（b）令
即等于从N点以后截断的x（n），画出的Z变换的极点零点略图。
（c）画出随ω变化的略图，并在图中画出N增加时对的影响。
22、在下列说法中选择正确的结论。
Chirp-Z变换可以用来计算一个有限时宽序列h（n）在Z平面实Z轴上诸点{Zk}的Z变换H（z），使
（c）（a）和（b）两者都行。
（d）（a）和（b）两者都不行，即Chirp-Z变换不能计算H（z）在z为实数时的取样。
23、我们希望利用一个单位取样响应长度为50个取样的有限冲击响应滤波器来过滤一串很长的数据。
要求利用重叠保留法通过DFT来实现这种滤波器。
为做到这一点，
（1）输入各段必须重叠v个样值；
（2）必须从每一段产生的输出中取出M个样值，使这些从
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