中考数学压轴题真题详解3Word下载.docx

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4=2，BC=OB•sin60°

=4×

=2，

　　∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；

（2）∵抛物线过原点O和点A．B，

　　∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，

　　将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得

　　，

　　解得，

　　∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x

　　（3）存在，

　　如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），

　　①若OB=OP，（版权所有）

　　则22+|y|2=42，

　　解得y=±

2，

　　当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°

，sin∠POD==，

　　∴∠POD=60°

　　∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°

+120°

=180°

　　即P、O、B三点在同一直线上，

　　∴y=2不符合题意，舍去，

　　∴点P的坐标为（2，﹣2）

　　②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，

　　解得y=﹣2，

　　故点P的坐标为（2，﹣2），

　　③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，

　　综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），

　　【菏泽】

　　21．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°

，得到△A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？

若存在，请求出P的坐标；

若不存在，请说明理由．

　　（3）在

（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？

并写出四边形PB′A′B的两条性质．

二次函数综合题。

（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°

得到的，

　　又A（0，1），B（2，0），O（0，0），

　　∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．

　　设抛物线的解析式为：

，

　　∵抛物线经过点A′、B′、B，

　　，解之得，

　　满足条件的抛物线的解析式为.．

（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，

　　设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足．

　　连接PB，PO，PB′，

　　.

　　假设四边形的面积是面积的倍，则

　　即，解之得，此时，即.

　　∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．

　　（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．

　　①等腰梯形同一底上的两个内角相等；

②等腰梯形对角线相等；

　　③等腰梯形上底与下底平行；

④等腰梯形两腰相等．

　　或用符号表示：

　　①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；

②PA′=B′B；

③B′P∥A′B；

④B′A′=PB．

　　【3.2012义乌市】

　　24．如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：

线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？

如果是，求出这个定值；

如果不是，说明理由；

　　（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：

m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

（1）把点A（3，6）代入y=kx得；

　　∵6=3k，

　　∴k=2，

　　∴y=2x．（2012义乌市）

　　OA=．…（3分）

（2）是一个定值，理由如下：

　　如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．

　　①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

　　此时；

　　②当QH与QM不重合时，

　　∵QN⊥QM，QG⊥QH

　　不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

　　∴∠MQH=∠GQN，

　　又∵∠QHM=∠QGN=90°

　　∴△QHM∽△QGN…（5分），

　　∴，

　　当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．…（7分）①①

　　（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R

　　∵∠AOD=∠BAE，

　　∴AF=OF，

　　∴OC=AC=OA=

　　∵∠ARO=∠FCO=90°

，∠AOR=∠FOC，

　　∴△AOR∽△FOC，

　　∴OF=，

　　∴点F（，0），

　　设点B（x，），

　　过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，

　　即，

　　解得x1=6，x2=3（舍去），

　　∴点B（6，2），

　　∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，

　　∴AB=5…（8分）；

　　（求AB也可采用下面的方法）

　　设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得

　　k=，b=10，

　　∴（舍去），，

　　∴B（6，2），

　　∴AB=5…（8分）

　　（其它方法求出AB的长酌情给分）

　　在△ABE与△OED中

　　∵∠BAE=∠BED，

　　∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，

　　∴∠ABE=∠DEO，

　　∵∠BAE=∠EOD，

　　∴△ABE∽△OED．…（9分）

　　设OE=x，则AE=﹣x（），

　　由△ABE∽△OED得，

　　∴

　　∴（）…（10分）

　　∴顶点为（，）

　　如答图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；

　　当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．

　　∴当时，E点只有1个…（11分）

　　当时，E点有2个…（12分）．

　　【•杭州】　　　　

　　22．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．

（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

　　（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

　　分析：

（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：

y=，利用待定系数法即可求得答案；

（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x2+x﹣1）的对称轴为x=﹣，可得x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大；

　　（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（﹣，k），A（1，k），即可得=，继而求得答案．

（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），

　　∵A在反比例函数图象上，

　　∴设反比例函数的解析式为：

y=，

　　代入A（1，﹣2）得：

﹣2=，

　　解得：

m=﹣2，

　　∴反比例函数的解析式为：

y=﹣；

（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，

　　∴k＜0，

　　∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=k（x+）2﹣k，的对称轴为：

直线x=﹣，

　　要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，

　　即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大，

　　∴综上所述，k＜0且x＜﹣；

　　（3）由

（2）可得：

Q（﹣，k），

　　∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）

　　∴原点O平分AB，

　　∴OQ=OA=OB，

　　作AD⊥OC，QC⊥OC，

　　∴OQ==，

　　∵OA==，

　　∴=，

k=±

．

　　点评：

此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应用．

　　【•烟台】

　　26．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？

最大值为多少？

　　（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？

请直接写出t的值．

（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；

由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；

（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；

由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；

然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣；

最后根据三角形的面积公式可以求得

　　S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣（t﹣2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的最大值为1；

　　（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上．

（1）A（1，4）．…（1分）

　　由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4

　　∵抛物线过点C（3，0），

　　∴0=a（3﹣1）2+4，

　　解得，a=﹣1，

　　∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．…（2分）

（2）∵A（1，4），C（3，0），

　　∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

　　∵点P（1，4﹣t）．…（3分）

　　∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．…（4分）

　　∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．

　　∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=