高中数学知识点与练习题文档格式.docx

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（1）空集是任何集合的子集

（2）空集是任何非空集合的真子集

（3）任何一个集合是它本身的子集

（4）如果A⊆B,B⊆C,那么A⊆C

（5）如果A⊆B同时B⊆A，那么A=B

（6）有n个元素的集合，有2n个子集，2n-1个真子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集

三、集合的运算

运算

交集

并集

补集

性质

AA=A

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AΦ=A

ABＡ

（CuA）（CuB）=Cu（AB）

（CuA）（CuB）=Cu（AB）

A（CuA）=U

A（CuA）=Φ．

四、函数的有关概念

1、函数的概念:

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:

A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：

y=f（x），x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

（1）定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

（2）求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

·

分式的分母不等于零；

偶次方根的被开方数不小于零；

对数式的真数必须大于零；

指数、对数式的底必须大于零且不等于1；

如果函数是由一些基本函数结合而成的,那么其定义域要使的各部分函数都有意义；

指数为零底不可以等于零；

实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

注：

相同函数的判断方法：

①表达式相同；

②定义域一致

2、值域:

先考虑其定义域，然后通常是根据函数关系的整合来得到其值域，一般的方法有观察法（简单函数关系）、配方法（二次）、代换法（分式）。

3、函数图象知识归纳

（1）定义:

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.

（2）画法:

描点法、图象变换法

（3）常用变换方法有三种:

平移变换、伸缩变换、对称变换

4、区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示。

5、映射：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f（对应关系）：

A（原象）B（象）”

对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6、分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数

（2）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集

7、复合函数

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）称为f、g的复合函数。

五、函数的性质

1、函数的单调性（局部性质）

（1）增函数

设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<

x2时，都有f（x1）<

f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数，区间D称为y=f（x）的单调增区间；

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<

x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数，区间D称为y=f（x）的单调减区间。

（2）图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

（3）函数单调区间与单调性的判定方法

A、定义法：

任取、作差、变形、定号、下结论；

B、图象法

（4）复合函数的单调性

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性同增异减。

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间写成并集。

2、函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数：

f（-x）=f（x），图象关于y轴对称

（2）奇函数：

f（-x）=-f（x），图象关于原点对称

3、利用定义判断函数奇偶性的步骤：

（1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

（2）确定f（－x）与f（x）的关系；

（3）作出相应结论：

若f（－x）=f（x），则是偶函数；

若f（－x）=－f（x），则是奇函数。

注意：

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数。

4、函数的解析表达式包括了对应法则和其定义域。

5、函数最值

（1）二次函数的性质（配方法）

（2）图象（3）函数单调性的

6、函数极值

（1）如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有极大值f（b）；

（2）如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有极小值f（b）。

第二章基本初等函数

一、指数函数

1、指数函数

（1）根式：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>

1，且∈*．

负数没有偶次方根；

0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2、分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

3、实数指数幂的运算性质

（1）ar·

as=ar+s（a>

0,r,s∈R）

（2）（ar）s=ars（a>

（3）（ab）r=arbr（a>

4、指数函数的概念：

一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1。

5、指数函数的图象和性质

a>

1

0<

a<

定义域R

值域y＞0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；

取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

1、对数的概念：

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：

（为底数，为真数，为对数式）

2、底数的限制，且；

；

注意对数的书写格式。

3、常用对数lgN（以10为底）；

自然对数lnN（以无理数e=2.71828…为底）

4、指数式与对数式的互化:

＝N＝b

三、对数的运算性质

如果，且，，，那么：

（1）·

＋；

（2）－；

（3）。

换底公式（，且；

，且；

）。

利用换底公式推导下面的结论

（1）；

（2）。

四、对数函数

1、对数函数的概念：

函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。

（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。

（2）对数函数对底数的限制：

，且．

2、对数函数的性质：

定义域x＞0

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点（1，0）

五、幂函数

1、幂函数定义：

一般地，形如y=xa（a∈R）的函数称为幂函数，其中a为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）a>

0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当a>

1时，幂函数的图象下凸；

当0<

1时，幂函数的图象上凸；

（3）a<

0时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

3、函数零点的求法：

（1）（代数法）求方程的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以利用函数的图象找出零点。

4、二次函数的零点：

二次函数．

（1）△＞０，方程有两不等实根，图象与轴有两个交点，函数有两个零点；

（2）△＝０，方程有两相等实根，图象与轴有一个交点，函数有一个二重零点；

（3）△＜０，方程无实根，图象与轴无交点，函数无零点。

第一章习题：

1、下列四组对象，能构成集合的是（）

A．某班所有高个子的学生B.著名的艺术家

C．一切很大的书D.倒数等于它自身的实数

2、集合{a，b，c，d，e，f，g}的真子集共有个。

3、若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.

4、设集合A={x|1<

x<

2}，B={x|x<

a}，若AB，则a的取值范围是

5、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

6、用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.

7、已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

第二章习题

1.求下列函数的定义域：

⑴⑵

2.设函数的定义域为，则函数的定义域为__。

3.若函数的定义域为，则函数的定义域是。

4.函数，若，则=。

5.求下列函数的值域：

⑴⑵

（3）（4）

6.已知函数，求函数，的解析式。

7.已知函数满足，则=。

8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=，在R上的解析式为。

9.求下列函数的单调区间：

⑴⑵⑶

10.判断函数的单调性并证明你的结论。

11.设函数判断它的奇偶性并且求证：

。

第三章习题