Gauss型积分公式文档格式.docx
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如下定义的多项式
称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式
的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且
这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为
此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数
其中k的取值范围为
Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点，在实际应用中只需查表即可。
n
x
A
1
2
6
1.2386191816
0.171324492
0.360761573
0.467913934
7
0.129484966
0.279705391
0.381830050
0.417959183
3
0.5555555556
0.8888888889
4
0.3478548451
0.6521451549
8
0.7966664774
0.5255324099
0.1834346425
0.101228536
0.222381034
0.313706645
0.362683783
5
0.2369268851
0.4786286705
0.5688888889
2）高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）积分公式
拉盖尔（Laguere）多项式
称为拉盖尔多项式。
其首项系数为,且具有性质：
正交性，在区间上关于权函数正交，而且
积分区间为，权函数为的Gauss型积分公式称为高斯-拉盖尔积分公式，其中Gauss点为拉盖尔多项式的零点，高斯-拉盖尔积分公式为
同样高斯-拉盖尔积分公式的Gauss点和求积系数如下表所示：
0.5857864376
3.4142135624
.853*******
0.1464466094
0.2635603197
1.4134030591
3.5964257710
7.0858100058
12.6408008442
0.5217556105
0.3986668110
0.0759424497
0.0036117587
0.0000233700
0.4157745567
2.2942803602
6.2899450829
0.7110930099
0.2785177335
0.3225476896
1.7457611011
4.5366202969
9.3950709123
0.6031541043
0.3574186924
0.0388879085
0.0005392947
0.2228466041
1.1889321016
2.9927363260
5.7751435691
9.8374674183
15.9828739806
0.4589646793
0.4170008307
0.1133733820
.010*******
0.0002610172
0.0000008985
3）高斯-埃尔米特（Gauss-Hermite）积分公式
埃尔米特（Hermite）多项式
被称作埃尔米特多项式，其首项系数为，具有性质如下
积分区间为，权函数为的Gauss型积分公式称为Gauss-Hermite积分公式，其Gauss点就是Hermite正交多项式的零点。
Gauss-Hermite求积公式为
同样高斯-埃尔米特积分公式的Gauss点和求积系数如下表所示：
0.8862269255
0.7246295952
0.1570673203
0.0045300099
0.2954089751
1.8163590006
0.8049140900
0.0813128354
1.6735516287
2.6519613563
0.4256072526
0.0545155828
0.0009717812
0.8102646175
0.3936193231
0.0199532421
0.9453087204
3、算法实例
1）用3点Gauss型求积公式计算
解：
根据积分限可以知道应该用Gauss-Legendre积分公式，具体程序如下所示
#include<
iostream>
math.h>
usingnamespacestd;
constintM（10）;
voidmain（）
{
inti=0;
intn=0;
intm=0;
intsign=0;
doublesum=0;
doublex[M]={0};
doubleA[M]={0};
doublex1[]={0};
doublex2[]={-0.57735502692,0.57735502692};
doublex3[]={-0.77459666920,0.77459666920,0};
doublex4[]={-0.8611363116,0.8611363116,-0.3399810436,0.3399810436};
doublex5[]={-0.9061798459,0.9061798459,-0.53846931010,0.53846931010,0};
doublex6[]={-0.9324695142,0.9324695142,-0.6612093865,0.6612093865,-1.2386191816,1.2386191816};
doublex7[]={-0.9491079123,0.9491079123,-0.7415311856,0.7415311856,-0.40584515140,0.40584515140,0};
doublex8[]={-0.9602898565,0.9602898565,-0.7966664774,0.7966664774,-0.5255324099,0.5255324099,-0.1834346425,0.1834346425};
doubleA1[]={2};
doubleA2[]={1};
doubleA3[]={0.5555555556,0.8888888889};
doubleA4[]={0.3478548451,0.6521451549};
doubleA5[]={0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889};
doubleA6[]={0.1713244924,0.3607615730,0.4679139346};
doubleA7[]={0.1294849662,0.2797053915,0.3818300505,0.4179591834};
doubleA8[]={0.1012285363,0.2223810345,0.3137066459,0.3626837834};
cout<
<
"
请输入节点个数"
endl;
cin>
>
n;
switch（n）
{
case1:
for（i=0;
i<
i++）{x[i]=x1[i];
A[i]=A1[i];
}break;
case2:
i++）{x[i]=x2[i];
}for（i=0;
i++）{A[i]=A2[i/2];
case3:
i++）{x[i]=x3[i];
i++）{A[i]=A3[i/2];
case4:
i++）{x[i]=x4[i];
i++）{A[i]=A4[i/2];
case5:
i++）{x[i]=x5[i];
i++）{A[i]=A5[i/2];
case6:
i++）{x[i]=x6[i];
i++）{A[i]=A6[i/2];
case7:
i++）{x[i]=x7[i];
i++）{A[i]=A7[i/2];
case8:
i++）{x[i]=x8[i];
i++）{A[i]=A8[i/2];
default:
cout<
输入出错，请从新输入！
！
break;
}
for（i=0;
i++）
sum=sum+A[i]*cos（x[i]）;
sum;
}
运行结果：
2）用两点Gauss型求积公式计算积分
根据积分限可以知道应该用Gauss-Laguerre积分公式，具体程序如下所示
#include"
stdafx.h"
doublex2[]={0.5857864376,3.41421356
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