Gauss型积分公式文档格式.docx

1、如下定义的多项式称作勒让德多项式。由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。其中Gauss-Legendre求积公式的系数其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点，在实际应用中只需查表即可。nxA1261.23861918160.1713244920.3607615730.46791393470

2、.1294849660.2797053910.3818300500.41795918330.55555555560.888888888940.34785484510.652145154980.79666647740.52553240990.18343464250.1012285360.2223810340.3137066450.36268378350.23692688510.47862867050.56888888892） 高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）积分公式拉盖尔（Laguere）多项式称为拉盖尔多项式。其首项系数为,且具有性质：正交性，在区间上关于权函数正交，而且积分区间为

3、，权函数为的Gauss型积分公式称为高斯-拉盖尔积分公式，其中Gauss点为拉盖尔多项式的零点，高斯-拉盖尔积分公式为同样高斯-拉盖尔积分公式的Gauss点和求积系数如下表所示：0.58578643763.4142135624.853*0.14644660940.26356031971.41340305913.59642577107.085810005812.64080084420.52175561050.39866681100.07594244970.00361175870.00002337000.41577455672.29428036026.28994508290.71109300990

4、.27851773350.32254768961.74576110114.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.03888790850.00053929470.22284660411.18893210162.99273632605.77514356919.837467418315.98287398060.45896467930.41700083070.1133733820.010*0.00026101720.00000089853） 高斯-埃尔米特（Gauss-Hermite）积分公式埃尔米特（Hermite）多项式被称作埃尔米特多项式

5、，其首项系数为，具有性质如下积分区间为，权函数为的Gauss型积分公式称为Gauss-Hermite积分公式，其Gauss点就是Hermite正交多项式的零点。Gauss-Hermite求积公式为同样高斯-埃尔米特积分公式的Gauss点和求积系数如下表所示：0.88622692550.72462959520.15706732030.00453000990.29540897511.81635900060.80491409000.08131283541.67355162872.65196135630.42560725260.05451558280.00097178120.81026461750.3

6、9361932310.01995324210.94530872043、算法实例1） 用3点Gauss型求积公式计算解：根据积分限可以知道应该用Gauss-Legendre积分公式，具体程序如下所示#include math.husing namespace std; const int M（10）;void main（） int i=0; int n=0; int m=0; int sign=0; double sum=0; double xM=0; double AM=0; double x1=0; double x2=-0.57735502692,0.57735502692; double

7、 x3=-0.77459666920,0.77459666920,0; double x4=-0.8611363116,0.8611363116,-0.3399810436,0.3399810436; double x5=-0.9061798459,0.9061798459,-0.53846931010,0.53846931010,0; double x6=-0.9324695142,0.9324695142,-0.6612093865,0.6612093865,-1.2386191816,1.2386191816; double x7=-0.9491079123,0.9491079123,-

8、0.7415311856,0.7415311856,-0.40584515140,0.40584515140,0; double x8=-0.9602898565,0.9602898565,-0.7966664774,0.7966664774,-0.5255324099,0.5255324099,-0.1834346425,0.1834346425; double A1=2; double A2=1; double A3=0.5555555556,0.8888888889; double A4=0.3478548451,0.6521451549; double A5=0.2369268851,

9、0.4786286705,0.5688888889; double A6=0.1713244924,0.3607615730,0.4679139346; double A7=0.1294849662,0.2797053915,0.3818300505,0.4179591834; double A8=0.1012285363,0.2223810345,0.3137066459,0.3626837834; coutn; switch（n） case 1:for（i=0;ii+）xi=x1i;Ai=A1i;break; case 2:i+）xi=x2i;for（i=0;i+）Ai=A2i/2; ca

10、se 3:i+）xi=x3i;i+）Ai=A3i/2; case 4:i+）xi=x4i;i+）Ai=A4i/2; case 5:i+）xi=x5i;i+）Ai=A5i/2; case 6:i+）xi=x6i;i+）Ai=A6i/2; case 7:i+）xi=x7i;i+）Ai=A7i/2; case 8:i+）xi=x8i;i+）Ai=A8i/2; default: cout输入出错，请从新输入！ break; for（i=0;i+） sum=sum+Ai*cos（xi）;sum;运行结果：2） 用两点Gauss型求积公式计算积分根据积分限可以知道应该用Gauss-Laguerre积分公式，具体程序如下所示#include stdafx.h double x2=0.5857864376,3.41421356