第五课时 完全平方公式和平方差公式Word文档下载推荐.docx
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x4y4
⑧逆用公式变化,xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz
2x2y2z
4xy4xz
二、公式的灵活运用的经典例题
例1.已知,,求的值。
例2.已知,,求的值。
例3:
计算19992-2000×
1998
例4:
已知a+b=2,ab=1,求a2+b2和(a-b)2的值。
例5:
已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。
求x2-z2的值。
例6:
判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几?
例7.运用公式简便计算
(1)1032
(2)1982
例8.计算
(1)a4b3ca4b3c
(2)3xy23xy2
例9.解下列各式
(1)已知a2b213,ab6,求ab2,ab2的值。
(2)已知ab27,ab24,求a2b2,ab的值。
(3)已知aa1a2b2,求的值。
(4)已知,求的值。
例10.四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗?
为什么?
例11.计算
(1)x2x12
(2)3mnp2
三、乘法公式的用法
(一)、套用:
这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去脉,准确地掌握其特征,为辨认和运用公式打下基础,同时能提高学生的观察能力。
例1.计算:
(二)、连用:
连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2.计算:
例3.计算:
(三)、逆用:
学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题。
例4.计算:
(四)、变用:
题目变形后运用公式解题。
例5.计算:
(五)、活用:
把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:
灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力。
例6.已知,求的值。
例7.计算:
例8.已知实数x、y、z满足,那么()
四、学习乘法公式应注意的问题
(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”.
例1计算(-2x2-5)(2x2-5)
例2计算(-a2+4b)2
(二)、注意为使用公式创造条件
例3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
例4计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2
例5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
(三)、注意公式的推广
计算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
可叙述为:
多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍.
例6计算(2x+y-3)2
(四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式
例7
(1)已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值;
(2)已知:
x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.
例8计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2.
(五)、注意乘法公式的逆运用
例9计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2.
例10计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
五、怎样熟练运用公式:
(一)、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是:
符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;
等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.
(二)、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(x+2y-3z)2,若视x+2y为公式中的a,3z为b,则就可用(a-b)2=a2-2ab+b2来解了。
(三)、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化如(3x+5y)(5y-3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化如(-2m-7n)(2m-7n)变为-(2m+7n)(2m-7n)后就可用平方差公式求解了(思考:
不变或不这样变,可以吗?
)
3、数字变化如98×
102,992,912等分别变为(100-2)(100+2),(100-1)2,(90+1)2后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化如(4m+)(2m-)变为2(2m+)(2m-)后即可用平方差公式进行计算了.
5、项数变化如(x+3y+2z)(x-3y+6z)变为(x+3y+4z-2z)(x-3y+4z+2z)后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
(四)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a2+1)2·
(a2-1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a2+1)(a2-1)]2=(a4-1)2=a8-2a4+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1-)(1-)(1-)…(1-)(1-),若分别算出各因式的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题.
即原式=(1-)(1+)(1-)(1+)×
…×
(1-)(1+)=×
×
=×
=.
有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式主要有:
a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab等.
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效.
如已知m+n=7,mn=-18,求m2+n2,m2-mn+n2的值.
面对这样的问题就可用上述变式来解,
即m2+n2=(m+n)2-2mn=72-2×
(-18)=49+36=85,
m2-mn+n2=(m+n)2-3mn=72-3×
(-18)=103.
下列各题,难不倒你吧?
!
1、若a+=5,求
(1)a2+,
(2)(a-)2的值.
2、求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1的末位数字.
五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±
b)=a2±
2ab+b2,
(a±
b)(a2±
ab+b2)=a3±
b3.
第一层次──正用
即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用.
例1计算
(2)(-2x-y)(2x-y).
第二层次──逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用.
例2计算
(1)19982-1998·
3994+19972;
第三层次──活用:
根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式;
有时根据需要创造条件,灵活应用公式.
例3化简:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.
例4计算:
(2x-3y-1)(-2x-3y+5)
第四层次──变用:
解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式,如a2+b2=(a+b)2-2ab,a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)等,则求解十分简单、明快.
例5已知a+b=9,ab=14,求2a2+2b2和a3+b3的值.
第五层次──综合后用:
将(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2综合,
可得(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);
(a+b)2-(a-b)2=4ab;
等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷.
例6计算:
(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
六、正确认识和使用乘法公式
1、数形结合的数学思想认识乘法公式:
对于学习的两种(三个)乘法公式:
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。
假设a、b都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为(a+b)(a-b),通过左右两图的对照,即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;
图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。
2、乘法公式的使用技巧:
①提出负号:
对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦。
例1、运用乘法公式计算:
(1)(-1+3x)(-1-3x);
(2)(-2m-1)2
例2、运用乘法公式计算:
(1)114x113;
(2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)
例3、计算:
(1)(x/2+5)2-(x/2-5)2;
(2)(a-1/2)2)(2+1/4)2(a+1/2)2
计算:
(1)(x+y+1)(1-x-y);
(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
七、巧用公式做整式乘法
整式乘法是初中数学的重要内容,是今后学习的基础,应用极为广泛。
尤其多项式乘多项式,运算过程复杂,在解答中,要仔细观察,认真分析题目中各多项式的结构特征,将其适当变化,找出规律,用乘法公式将其展开,运算就显得简便易行。
A.先分组,再用公式
例1.计算:
B.先提公因式,再用公式
例2.计算:
C.先分项,再用公式
例3.计算:
D.先整体展开,再用公式
例4.计算:
E.先补项,再用公式
例5.计算:
F.先用公式,再展开
例6.计算: