导数在研究函数中的应用含标准答案Word格式.docx
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二、自我查验
1.函数f（x）=x+elnx的单调递增区间为（）
A.（0,+a）B.（―a,0）
C.（—a,0）和（0,+a）D.R
2.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数，则m的取值范围是.
3•函数f（x）的定义域为开区间（a,b），导函数f'
（x）在（a,b）内的图
象如图所示，则函数f（x）在开区间（a,b）内有极小值点（）
4.若函数f（x）=x3+ax2+3x—9在x=
—3时取得极值,
A.
2
B.3
C.
4
D.5
5•函数
y
Inx
x的最大值为
x
（）
1e
B.
e
C.
2e
D.
10
T
C.3个
D.4个
则a等于（
【典型例题】
考点一利用导数研究函数的单调性
【例1】
（2015髙考全国卷n）已知函数
f（x）=Inx+a（1—x）.
（1）讨论f（x）的单调性;
【变式训练1】已知fxx3ax2a2x2.
（1）若a1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程;
（2）若a0,求函数fx的单调区间.
考点二利用导函数研究函数极值问题
【例2】已知函数fxInxax3,aR.
（1）当a1时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间.
【变式训练2】
（2011安徽）设f（x）=[Jax2，其中a为正实数•当a=4时，求f（x）的极值点;
考点三利用导函数求函数最值问题
【例3】已知a为实数，fx（x4）（xa）.
（1）求导数fx；
（2）若f10，求fx在2,2上的最大值和最小值
【应用体验】
1•函数yx
Inx的单调递减区间为（
）
1,1
B
.0,
1,
D
.0,1
2.函数1
fxxex
的单调递减区间是（
A
.（1
）B.（,1）C.（
1）D.（1
3.函数fxx
3ex的单调递增区间是（
.0,3
B.1,4
C
.2,
D.,2
4.设函数
fx-
lnx」（）
.x
1为fx
的极大值点
的极小值点
2为fx
5.
函数
f（x）2x3
3xa的极大值为6,
那么a的值是（
.0
.1
.5
.6
【复习与巩固】
A组夯实基础
、选择题
D.fc
2.函数fx
x2alnx在x
1处取得极值，则a等于（）
A.2B.2
C.4D.4
3.函数fxexx（e为自然对数的底数）在区间1,1上的最大值是（）
4.
B.1
A.1
、填空题
4.若函数fX
X3Xmx1是R上的单调增函数，则实数m的取值范围是
B组能力提升
A.1
C.1
二、填空题
11
5.已知函数f（x）=^x2+2ax—Inx,若f（x）在区间2上是增函数，则实数a的取值范围为
6.设X1,X2是函数f（x）=x—2ax2+a2x的两个极值点，若X1<
2<
X2,则实数a的取值范围是
&
设函数f（x）=（x—1）ex—kx2（其中k€R）.
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当k€[0,+g）时，证明函数f（x）在R上有且只有一个零点.
《导数在研究函数中的应用》标准答案
一•自主归纳
1.
（1）f'
（x）>
0
（2）f'
（x）<
0（3）f'
（x）=03.小于
4.大于极值
5.不超过不小于
二•自我查验
1.解析：
函数定义域为（0,,f'
（X）=1+x>
0,故单调增区间是（0,+X）•
入
答案：
2.解析：
•••f（x）=x3+x2+mx+1,
二f'
（x）=3x2+2x+m
1
又If（x）在R上是单调增函数，f'
（x）>
0恒成立，•••△=4—12m<
0,即m>
3.
3
2，+x
3.解析：
导函数f'
（X）的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.
4.解析：
f'
（x）=3x2+2ax+3,由题意知f'
（—3）=0,即卩3X（—3）2+
2X（—3）a+3=0,解得a=5.
5..A【解析】ylnxy-_鉴，令y-_鉴0xe，当x（0,e）时函
xxx
数单调递增，当x（e,）时函数单调递减，ymax丄e故选A
e，
三•典型例题
【例题1】
（1）f（x）的定义域为（0，+^），f'
（x）=乙—a.若a<
0,则f'
0，
所以f（x）在（0,+^）单调递增•若a>
0,则当x€0,a时，f'
0;
a
在a,+x单调递减.
⑵由⑴知，当a<
0时，f（x）在（0,+^）无最大值；
当a>
0时，f（x）在x=-处
111
取得最大值，最大值为fa=lna+a1—a=—lna+a-1.
aaa
1因此f匚>
2a—2等价于Ina+a—1<
令g（a）=Ina+a—1，贝Ug（a）在（0，+^）单调递增，g
（1）=0.
于是，当0<
a<
1时，g（a）<
0；
当a>
1时，g（a）>
因此，a的取值范围是（0,1）.
【变式训练11
（1）当a1时，fxx3x2x2，•••fx3x22x1，
，即4xy1
当a0时,
1f（x）-
a0在0,
上恒成立，所以函数f
0,
上单调
递增;
令fX0，解得x-，所以函数fX在-，上单调递减•
aa
综上所述，当a0时，函数fx的单调增区间为0,；
当a0时，函数fx
1i
的单调增区间为0,-，单调减区间为-，
【变式训练2】解对f（x）求导得
-Iax°
2ax4
（x）=e•-+ax2__2.当a=3时，若f'
（x）=0，则4x2_8x+3=0，
31
解得X1=2，X2=2-结合①，可知
X
（_x，
2）
（2,
（0，+
oo）
（x）
+
—
f（x）
极大
值
极小
/1
所以X1=㊁是极小值点，X2=2是极大值点•
【例题3】1）f'
x
2x（xa）（x24）3x22ax4.
（2）由f10得a1，
故f（x）（x24）（x1）x3
f（x）在R上单调递增,
【变式训练3】1）当a0时，函数f（x）ex2a0，
当a0时，f（x）ex2a，令ex2a0,得xln（2a），所以当x（,ln（2a））
时，f（x）0,函数f（x）单调递减；
当x（ln（2a）,）时，f（x）0,函数f（x）
单调递增•
（2）由
（1）可知，当a0时，函数f（x）ex2ax0，不符合题意.
当a0时，f（x）在（，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a）,）上单调递增.
①当ln（2a）1，即；
a0时，f（x）最小值为f⑴2ae.
x2是函数fx的极小值点.故选D.
考点：
函数的极值点.
5.D
可得x0,1，容易判断极大值为
函数的导数与极值.
复习与巩固
A组
1.C
禾U用导数求函数单调性并比较大小.
2.B
3.D
利用导数求函数在闭区间上的最值
因为g
m3x22x恒成立.令gx3x22x，则m
211
3x22x为R上的二次函数，所以gxg-3-
max33
2--，则m的取值范围是-,.
333
5.0
x2x2
6xae3xaxe3x6axa【解析】fx2-
exe
由题意得f0a0.
导数与极值.
6.1
【解析】因为f（x）ex1,f（x）0x0,f（x）0x0，所以f（x）在
［1,0］单调递减，在［0,1］单调递增，从而函数f（x）exX在［1,1］上的最小值是
f（0）e001.
函数的最值与导数.
7.【解析】fxlx2Inx的定义域为0,，
1，则fX
.2
a，由题意可得
In
-
InxInx
4，
x1,，Inx0,
（2）
当a2时，fx
—2x,fx
Inx
Inx12Inx
7~2，
0,得21n2x
10，解得Inx
-或Inx
1（舍去），即xe.
当x时，f
的极小值为fe
B组
1.D
【解析】因为函数fxx2舟阮2在区间a
1,a1上不单调，所以
x2x丄
2x
4x21
在区间a1,a
1上有零点,
1,得1a
函数的单调性与导数的关系
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