学年高二数学上册综合检测试6文档格式.docx

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|F1F2|（a>

0），即|PF1|－|PF2|＝±

2a（0<

2a<

|F1F2|）时，P点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．

3．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是（　　）

A．（1,0）B．（，0）

C．（－1,0）D．（0，－）

[解析]　x2＝4y关于x＋y＝0，对称的曲线为y2＝－4x，其焦点为（－1,0）．

4．已知点P是抛物线y2＝－8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是（　　）

A.B．2

C．6D．3

[解析]　抛物线y2＝－8x的焦点F（－2,0），根据抛物线的定义知，d1＋d2＝|PF|＋d2，显然当由点F向直线x＋y－10＝0作垂线与抛物线的交点为P时，d1＋d2取到最小值，即＝6.

5．（2018·

吉林省实验中学一模）如图，F1、F2是双曲线C1：

x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1、C2在第一象限的公共点，若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是（　　）

A.B．

C.或D．

[解析]　设椭圆方程为＋＝1（a>

b>

0），

由题意得，|AF1|＝|F1F2|＝2c＝2＝4，

∴c＝2，

|AF1|－|AF2|＝2，∴|AF2|＝2，

∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，∴a＝3，∴e＝＝.

6．已知椭圆＋＝1（a>

0）与双曲线－＝1（m>

0，n>

0）有相同的焦点（－c,0）和（c,0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）

A.　B．　

C．　D．

[答案]　D

[解析]　由题意可得

解得＝，∴e＝＝.

7．（2018·

山东省烟台市期末）若双曲线－＝1（a>

0，b>

0）的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率等于（　　）

A．2B．3

C.D．9

[解析]　由题意双曲线－＝1（a>

0）的一条渐近线方程为y＝x，代入抛物线方程y＝x2＋2整理得x2－x＋2＝0，

因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝（－）2－8＝0，

即（）2＝8，∴此双曲线的离心率e＝＝＝＝3.故选B.

8．已知椭圆2x2＋y2＝2的两个焦点为F1，F2，且B为短轴的一个端点，则△F1BF2的外接圆方程为（　　）

A．x2＋y2＝1B．（x－1）2＋y2＝4

C．x2＋y2＝4D．x2＋（y－1）2＝4

[答案]　A

[解析]　椭圆的焦点为F1（0,1），F2（0，－1），短轴的一个端点为B（1,0），可知BF1⊥BF2，于是△F1BF2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2＋y2＝1.

9．双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2分别为它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于（　　）

A．8B．4

C．2D．8

[解析]　∵＝，2b＝4，∴a2＝8，a＝2，

|AF2|－|AF1|＝2a＝4，

|BF2|－|BF1|＝2a＝4，

两式相加得|AF2|＋|BF2|－（|AF1|＋|BF1|）＝8，

又∵|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，|AF1|＋|BF1|＝|AB|，

∴|AB|＝8.

10.（2018·

武汉市调研）如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C、D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为（　　）

A.＋1B．2＋2

C.－1D．2－2

[解析]　连接AC、OC，过D作DE⊥AB，垂足为E，由题意知，梯形ABCD为等腰梯形．

设∠CAB＝α，∵AB为⊙O的直径，AB＝4，∴∠ACB为直角，∴AC＝4cosα，BC＝4sinα，AE＝ADcos∠DAE＝BCcos∠CBA＝4sinα·

sin∠CAB＝4sin2α，

∴CD＝2（AO－AE）＝4（1－2sin2α），

∴梯形的周长l＝AB＋2BC＋CD＝4＋8sinα＋4（1－2sin2α）＝－8sin2α＋8sinα＋8＝－8（sinα－）2＋10，显然当sinα＝时，周长l取最大值，∵α为锐角，∴cosα＝，此时2a＝CA－CB＝4cosα－4sinα＝2－2，故选D.

11．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0（a>

0）的曲线大致是（　　）

[解析]　解法一：

将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程＋＝1，y2＝－x.因为a>

0，因此>

>

0.

所以有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左．

解法二：

将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，即说明ax＋by2＝0的图象关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴，排除A.

12．B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°

方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地运转货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（　　）

A．（＋1）a万元B．（2－2）a万元

C．2a万元D．（－1）a万元

[解析]　设总费用为y万元，则y＝a·

（MB＋MC）

∵河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，

∴曲线PQ是双曲线的一支，B为焦点，且a＝1，c＝2.

由双曲线定义，得MA－MB＝2a，即MB＝MA－2，

∴y＝a·

（MA＋MC－2）≥a·

（AC－2）．

以直线AB为x轴，线段AB的中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A（－2,0），C（3，）．

∴AC＝＝2，

故y≥（2－2）a（万元）．

二、填空题

13．直线y＝kx＋1（k∈R）与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围为________．

[答案]　m≥1且m≠5

[解析]　将y＝kx＋1代入椭圆方程，消去y并整理，得（m＋5k2）x2＋10kx＋5－5m＝0.

由m>

0,5k2≥0，知m＋5k2>

0，故

△＝100k2－4（m＋5k2）（5－5m）≥0对k∈R恒成立．

即5k2≥1－m对k∈R恒成立，故

1－m≤0，∴m≥1.

又∵m≠5，∴m的取值范围是m≥1且m≠5.

14．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的双曲线的离心率为________．

[答案]　2

[解析]　∵AB＝2c＝4，∴c＝2.

∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°

，∴AC＝5，

∴2a＝CA－CB＝2，∴a＝1，∴e＝＝2.

15．（2018·

长春市调研）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|>

|FB|，则＝________.

[答案]　3＋2

[解析]　抛物线y2＝4x的焦点F（1,0），过F斜率为1的直线方程为y＝x－1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋2，x2＝3－2，

故由抛物线的定义可得＝＝3＋2.

16．椭圆mx2＋ny2＝1与直线l：

x＋y＝1交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线斜率为，则＝________.

[答案]　

[解析]　设M（x1，y1），N（x2，y2），

∴mx＋ny＝1①

mx＋ny＝1②

又＝－1，∴①－②得：

m－n·

＝0，

∵＝＝，∴m＝n，∴＝.

三、解答题

17．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P（，），求抛物线方程和双曲线方程．

[解析]　依题意，设抛物线方程为y2＝2px，（p>

∵点（，）在抛物线上，∴6＝2p×

，

∴p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.

∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上，

∴c＝1，即a2＋b2＝1，

又点（，）在双曲线上，∴－＝1，

由解得a2＝，b2＝.

∴所求双曲线方程为4x2－y2＝1.

18．已知抛物线y2＝4x，椭圆＋＝1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，

试求：

（1）m的值；

（2）P、Q两点的坐标；

（3）△PF1F2的面积．

[解析]　

（1）∵抛物线方程为y2＝4x，∴2p＝4，

∴＝1，

∴抛物线焦点F2的坐标为（1,0），它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c＝1，a2＝9＝b2＋c2，∴9＝m＋1，

∴m＝8.

（2）解方程组得或

∴点P、Q的坐标为（，）、（，－）．

（3）点P的纵坐标就是△PF1F2的边F1F2上的高，

∴S△PF1F2＝|F1F2|·

|yp|＝×

2×

＝.

19．设双曲线C：

－y2＝1（a>

0）与直线l：

x＋y＝1相交于两个不同的点A、B，求双曲线C的离心率的取值范围．

[解析]　由C与l相交于两个不同点，故知方程组有两组不同的实根，

消去y并整理得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0.①

所以解得0<

a<

，且a≠1.

双曲线的离心率e＝＝，

因为0<

且a≠1.

所以e>

，且e≠.

即离心率e的取值范围为∪（，＋∞）．

20．（2018·

浙北名校联盟联考）已知椭圆C：

＋＝1（a>

0）的焦点为F1（－1,0），F2（1,0），且经过点P（1，）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

[解析]　

（1）∵c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，

∴a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.

（2）假设存在符合条件的点M（x0，y0），

设直线l的方程为x＝my－1，

由消去x得：

（3m2＋4）y2－6my－9＝0，

由条件知Δ>

0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，

∴AB的中点为（－，），

∵四边形AMBF2为平行四边形，

∴AB的中点与MF2的中点重合，

即∴M（－，），

把点M的坐标代入椭圆C的方程得：

27m4－24m2－80＝0，解得m2＝，

∴存在符合条件的直线l，其方程为：

y＝±

（x＋1）．

21．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18m，拱顶离水面的距离为8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若矩形的长|CD|＝9m，那么矩形的高|DE|不能超过多少m才能使船通过拱桥？

[解析]　如图，以O点为原点，过O且平行于AB的直线为x轴，以线段A